Dwumian Newtona Jeśli a, b są liczbami rzeczywistymi, takimi że a+b≠0 i n jest liczbą naturalną, to  ${\left(a+b\right)}^n=a^n+\left(\begin{array}{c}n\\ 1\end{array}\right)a^{n-1}b+\left(\begin{array}{c}n\\ 2\end{array}\right)a^{n-2}{b}^2+\dots +\left(\begin{array}{c}n\\ n-1\end{array}\right)a{b}^{n-1}+b^n$

---

a)

Rozważamy rozwinięcie dwumianu

${\left(4x+\frac{5}{x}\right)}^6,x\ne 0$  

Korzystając ze wzoru Newtona wyznaczamy (k+1)-wyraz rozwinięcia (k ∈ N, k ≤ 6)

$c_{k+1}=\left(\begin{array}{c}6\\ k\end{array}\right)\cdot {\left(4x\right)}^{6-k}\cdot {\left(\frac{5}{x}\right)}^k=\left(\begin{array}{c}6\\ k\end{array}\right)\cdot 4^{6-k}{x}^{6-k}\cdot \frac{5^k}{x^k}$  

Zauważmy, ze w wyrazie c_k+1 nie występuje x wtedy i tylko wtedy, gdy potęgi o podstawie x mają równe wykładniki, czyli

$6-k=k\mid +k$  

$6=2k\mid :2$  

$3=k$  

zatem jest to czwarty wyraz rozwinięcia. 

Wyznaczamy wyraz c₄:

$c_4=\left(\begin{array}{c}6\\ 3\end{array}\right)\cdot 4^{6-3}\cdot x^{6-3}\cdot \frac{5^3}{x^3}=\frac{6!}{4!\cdot 2!}\cdot 4^3\cdot \cancel{x^3}\cdot \frac{5^3}{\cancel{x^3}}=\frac{4!\cdot 5\cdot 6}{4!\cdot 2}\cdot 64\cdot 125=120000$  

---

b)

Rozważamy rozwinięcie dwumianu

${\left(3x-\frac{3}{x}\right)}^{10},x\ne 0$  

Korzystając ze wzoru Newtona wyznaczamy (k+1)-wyraz rozwinięcia (k ∈ N, k ≤ 10)

$c_{k+1}=\left(\begin{array}{c}10\\ k\end{array}\right)\cdot {\left(3x\right)}^{10-k}\cdot {\left(-\frac{3}{x}\right)}^k=\left(\begin{array}{c}10\\ k\end{array}\right)\cdot 3^{10-k}{x}^{10-k}\cdot \frac{{\left(-3\right)}^k}{x^k}$  

Zauważmy, ze w wyrazie c_k+1 nie występuje x wtedy i tylko wtedy, gdy potęgi o podstawie x mają równe wykładniki, czyli

$10-k=k\mid +k$  

$10=2k\mid :2$  

$5=k$  

zatem jest to szósty wyraz rozwinięcia. 

Wyznaczamy wyraz c₆:

$c_6=\left(\begin{array}{c}10\\ 5\end{array}\right)\cdot 3^{10-5}\cdot x^{10-5}\cdot \frac{{\left(-3\right)}^5}{x^5}=\frac{10!}{5!\cdot 5!}\cdot 3^5\cdot x^5\cdot \frac{-3^5}{x^5}=$

  $=\frac{5!\cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 10}{5!\cdot 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}\cdot 243\cdot \left(-243\right)=-14880348$  

---

c)

Rozważamy rozwinięcie dwumianu

${\left(x^2-\frac{7}{x}\right)}^9,x\ne 0$  

Korzystając ze wzoru Newtona wyznaczamy (k+1)-wyraz rozwinięcia (k ∈ N, k ≤ 9)

$c_{k+1}=\left(\begin{array}{c}9\\ k\end{array}\right)\cdot {\left(x^2\right)}^{9-k}\cdot {\left(-\frac{7}{x}\right)}^k=\left(\begin{array}{c}9\\ k\end{array}\right)\cdot x^{18-2k}\cdot \frac{{\left(-7\right)}^k}{x^k}$  

Zauważmy, ze w wyrazie c_k+1 nie występuje x wtedy i tylko wtedy, gdy potęgi o podstawie x mają równe wykładniki, czyli

$18-2k=k\mid +2k$  

$18=3k\mid :3$  

$6=k$  

zatem jest to siódmy wyraz rozwinięcia. 

Wyznaczamy wyraz c₇:

$c_7=\left(\begin{array}{c}9\\ 6\end{array}\right)\cdot x^{18-2\cdot 6}\cdot \frac{{\left(-7\right)}^6}{x^6}=\frac{9!}{6!\cdot 3!}\cdot \cancel{x^6}\cdot \frac{7^6}{\cancel{x^6}}=$  

$=\frac{6!\cdot 7\cdot 8\cdot 9}{6!\cdot 1\cdot 2\cdot 3}\cdot 117649=9882516$  

---

d)

Rozważamy rozwinięcie dwumianu

${\left(2x^6+\frac{3}{x^4}\right)}^{10},x\ne 0$  

Korzystając ze wzoru Newtona wyznaczamy (k+1)-wyraz rozwinięcia (k ∈ N, k ≤ 10)

$c_{k+1}=\left(\begin{array}{c}10\\ k\end{array}\right)\cdot {\left(2x^6\right)}^{10-k}\cdot {\left(\frac{3}{x^4}\right)}^k=\left(\begin{array}{c}10\\ k\end{array}\right)\cdot 2^{10-k}\cdot x^{6\cdot \left(10-k\right)}\cdot \frac{3^k}{x^{4k}}$  

Zauważmy, ze w wyrazie c_k+1 nie występuje x wtedy i tylko wtedy, gdy potęgi o podstawie x mają równe wykładniki, czyli

$6\left(10-k\right)=4k$  

$60-6k=4k\mid +6k$  

$60=10k\mid :10$  

$6=k$  

zatem jest to siódmy wyraz rozwinięcia. 

Wyznaczamy wyraz c₇:

$c_7=\left(\begin{array}{c}10\\ 6\end{array}\right)\cdot 2^{10-6}\cdot x^{6\cdot \left(10-6\right)}\cdot \frac{3^6}{x^{4\cdot 6}}=\frac{10!}{6!\cdot 4!}\cdot 2^4\cdot \cancel{x^{24}}\cdot \frac{3^6}{\cancel{x^{24}}}=$  

$=\frac{6!\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 10}{6!\cdot 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}\cdot 16\cdot 729=2449440$  

---

e)

Rozważamy rozwinięcie dwumianu

${\left(\frac{\sqrt{x}}{2}+\frac{2}{\sqrt{x}}\right)}^{10},x\ne 0$  

Korzystając ze wzoru Newtona wyznaczamy (k+1)-wyraz rozwinięcia (k ∈ N, k ≤ 10)

$c_{k+1}=\left(\begin{array}{c}10\\ k\end{array}\right)\cdot {\left(\frac{\sqrt{x}}{2}\right)}^{10-k}\cdot {\left(\frac{2}{\sqrt{x}}\right)}^k=\left(\begin{array}{c}10\\ k\end{array}\right)\cdot \frac{{\sqrt{x}}^{10-k}}{2^{10-k}}\cdot \frac{2^k}{{\sqrt{x}}^k}$  

Zauważmy, ze w wyrazie c_k+1 nie występuje x wtedy i tylko wtedy, gdy potęgi o podstawie √x mają równe wykładniki, czyli

$10-k=k\mid +k$  

$10=2k\mid :2$  

$5=k$  

zatem jest to szósty wyraz rozwinięcia. 

Wyznaczamy wyraz c₆:

$c_6=\left(\begin{array}{c}10\\ 5\end{array}\right)\cdot \frac{{\sqrt{x}}^{10-5}}{2^{10-5}}\cdot \frac{2^5}{{\sqrt{x}}^5}=\frac{10!}{5!\cdot 5!}\cdot \frac{\cancel{{\sqrt{x}}^5}}{\cancel{2^5}}\cdot \frac{\cancel{2^5}}{\cancel{{\sqrt{x}}^5}}=\frac{10!}{5!\cdot 5!}=\frac{5!\cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 10}{5!\cdot 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}=252$  

---

f)

Rozważamy rozwinięcie dwumianu

${\left(\frac{x^3}{2}-\frac{3}{\sqrt[3]{x}}\right)}^{10},x\ne 0$  

Korzystając ze wzoru Newtona wyznaczamy (k+1)-wyraz rozwinięcia (k ∈ N, k ≤ 10)

$c_{k+1}=\left(\begin{array}{c}10\\ k\end{array}\right)\cdot {\left(\frac{x^3}{2}\right)}^{10-k}\cdot {\left(-\frac{3}{\sqrt[3]{x}}\right)}^k=\left(\begin{array}{c}10\\ k\end{array}\right)\cdot \frac{x^{30-3k}}{2^{10-k}}\cdot \frac{{\left(-3\right)}^k}{{\sqrt[3]{x}}^k}=$  

$=\left(\begin{array}{c}10\\ k\end{array}\right)\cdot \frac{x^{30-3k}}{2^{10-k}}\cdot \frac{{\left(-3\right)}^k}{x^{\frac{k}{3}}}$  

Zauważmy, ze w wyrazie c_k+1 nie występuje x wtedy i tylko wtedy, gdy potęgi o podstawie x mają równe wykładniki, czyli

$30-3k=\frac{k}{3}\mid +3k$  

$30=\frac{10}{3}k\mid :\frac{10}{3}$  

$9=k$  

zatem jest to dziesiąty wyraz rozwinięcia. 

Wyznaczamy wyraz c₁₀:

$c_{10}=\left(\begin{array}{c}10\\ 9\end{array}\right)\cdot \frac{x^{30-3\cdot 9}}{2^{10-9}}\cdot \frac{{\left(-3\right)}^9}{x^{\frac{9}{3}}}=\frac{10!}{9!\cdot 1!}\cdot \frac{\cancel{x^3}}{2}\cdot \frac{-3^9}{\cancel{x^3}}=$  

$=10\cdot \frac{1}{2}\cdot \left(-19683\right)=-98415$