Niech

n - liczba losów wygrywających dołożonych do pudełka (n∈ℕ)

W pudełku znajduje się więc

• 8+n losów wygrywających (W)
• 12 losów pustych (P)

czyli razem 20+n losów.

Losujemy 2 losy z pudełka. Możemy to traktować jak dwukrotne losowanie po 1 losie z pudełka, bez zwracania.

a) Niech

A - wylosowano 2 puste losy

Doświadczenie możemy zilustrować za pomocą drzewka:

Niebieska gałąź drzewka odpowiada zajściu zdarzenia A i skoro wiemy, że

$P\left(A\right)=\frac{33}{248}$  

to mamy

$P\left(A\right)=\frac{12}{20+n}\cdot \frac{11}{19+n}=\frac{33}{248}$

Zatem

$\frac{132}{\left(20+n\right)\left(19+n\right)}=\frac{33}{248}$   

$\frac{132}{\left(20+n\right)\left(19+n\right)}=\frac{4\cdot 33}{4\cdot 248}$

$\frac{132}{\left(20+n\right)\left(19+n\right)}=\frac{132}{992}$   

$\left(20+n\right)\left(19+n\right)=992$   

$380+20n+19n+n^2=992\mid -992$  

$n^2+39n-612=0$

Rozwiązujemy równanie kwadratowe, pamiętając o tym, że n∈ℕ.

$\Delta ={39}^2-4\cdot 1\cdot \left(-612\right)=1521+2448=3969$

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{3969}=63$

$n_1=\stackrel{<0}{\overbrace{\frac{-39-63}{2}}}\notin \mathbb{N}\text{- odrzucamy}$

$n_2=\frac{-39+63}{2}=\frac{24}{2}=\underline{\underline{12}}\in \mathbb{N}$   

Odp.: Trzeba dołożyć 12 losów wygrywających.

---

b) Niech

B - wylosowano 2 losy wygrywające

Doświadczenie możemy zilustrować za pomocą drzewka:

Niebieska gałąź drzewka odpowiada zajściu zdarzenia B i skoro wiemy, że

$P\left(B\right)=0,28$  

to mamy

$P\left(B\right)=\frac{8+n}{20+n}\cdot \frac{7+n}{19+n}=0,28$

Zatem

$\frac{\left(8+n\right)\left(7+n\right)}{\left(20+n\right)\left(19+n\right)}=0,28\mid \cdot \left(20+n\right)\left(19+n\right)$   

$\left(8+n\right)\left(7+n\right)=0,28\left(20+n\right)\left(19+n\right)$

$56+8n+7n+n^2=0,28\left(380+20n+19n+n^2\right)$   

$n^2+15n+56=0,28\left(n^2+39n+380\right)$   

$n^2+15n+56=0,28n^2+10,92n+106,4\mid -0,28n^2-10,92n-106,4$  

$0,72n^2+4,08n-50,4=0\mid :8$

$0,09n^2+0,51n-6,3=0\mid :3$

$0,03n^2+0,17n-2,1=0\mid \cdot 100$

$3n^2+17n-210=0\mid \cdot 100$

Rozwiązujemy równanie kwadratowe, pamiętając o tym, że n∈ℕ.

$\Delta ={17}^2-4\cdot 3\cdot \left(-210\right)=289+2520=2809$

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{2809}=53$

$n_1=\stackrel{<0}{\overbrace{\frac{-17-53}{2}\cdot 3}}\notin \mathbb{N}\text{- odrzucamy}$

$n_2=\frac{-17+53}{2}\cdot 3=\frac{36}{6}=\underline{\underline{6}}\in \mathbb{N}$   

Odp.: Trzeba dołożyć 6 losów wygrywających.

---

b) Niech

C - wylosowano 1 los wygrywający

Doświadczenie możemy zilustrować za pomocą drzewka:

Niebieskie gałęzie drzewka odpowiadają zajściu zdarzenia C i skoro wiemy, że

$P\left(C\right)=\frac{72}{145}$  

to mamy

$P\left(C\right)=\frac{12}{20+n}\cdot \frac{8+n}{19+n}+\frac{8+n}{20+n}\cdot \frac{12}{19+n}=\frac{72}{145}$

Zatem

$\frac{12\left(8+n\right)}{\left(20+n\right)\left(19+n\right)}+\frac{12\left(8+n\right)}{\left(20+n\right)\left(19+n\right)}=\frac{72}{145}$   

$2\cdot \frac{12\left(8+n\right)}{\left(20+n\right)\left(19+n\right)}=\frac{72}{145}\mid :2$   

$\frac{12\left(8+n\right)}{\left(20+n\right)\left(19+n\right)}=\frac{36}{145}\mid :12$   

$\frac{8+n}{\left(20+n\right)\left(19+n\right)}=\frac{3}{145}\left|:2\right|\cdot 145\cdot \left(20+n\right)\left(19+n\right)$   

$145\left(8+n\right)=3\left(20+n\right)\left(19+n\right)$   

$1160+145n=3\left(380+20n+19n+n^2\right)$  

$1160+145n=1140+60n+57n+3n^2$   

$1160+145n=1140+117n+3n^2\mid -1140-117n-3n^2$   

$-3n^2+28n+20=0$  

Rozwiązujemy równanie kwadratowe, pamiętając o tym, że n∈ℕ.

$\Delta ={28}^2-4\cdot \left(-3\right)\cdot 20=784+240=1024$

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{1024}=32$

$n_1=\frac{-28-32}{2\cdot \left(-3\right)}=\frac{-60}{-6}=\underline{\underline{10}}\in \mathbb{N}$

$n_2=\frac{-28+32}{2\cdot \left(-3\right)}=\frac{4}{-6}\notin \mathbb{N}\text{- odrzucamy}$   

Odp.: Trzeba dołożyć 10 losów wygrywających.