a) Dla funkcji f(x)=...- Zadanie 75: Matematyka z plusem 4. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

Zauważmy, że

$f (x) = \frac{9 x ^{2} + 6 x + 1 _{x_{1} = x_{2} = - \frac{1}{3}} ^{a = 9, Δ = 0}}{_{a = 3, Δ = 16} ^{x_{1} = - 1, x_{2} = 3} 3 x ^{2} - 2 x - 1} = \frac{9 ( x + \frac{1}{3} ) ^{2}}{3 ( x + \frac{1}{3} ) ( x - 1 )} = \frac{3 ( x + \frac{1}{3} )}{x - 1}$

$D_{f} = R \ {- \frac{1}{3}, 1}$

Obliczamy granice:

$1) x \to - \infty lim f (x) = x \to - \infty lim \frac{3 ( x + \frac{1}{3} )}{x - 1} = x \to - \infty lim \frac{3 ( 1 + \frac{\frac{1}{3}}{x} )}{1 - \frac{1}{x}} = [\frac{3 \cdot 1}{1}] = 3$

$2) x \to - \frac{1}{3}^{-} lim f (x) = x \to - \frac{1}{3}^{-} lim \frac{3 ( x + \frac{1}{3} )}{x - 1} = [\frac{3 \cdot ( - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} )}{- \frac{1}{3} - 1}] = 0$

$3) x \to 0 lim f (x) = (*) f (0) = - 1^{(*) bo funkcja f jest ci ą g ł a w punkcie x_{0} = 0 jako funkcja wymierna}$

$4) x \to 1^{-} lim f (x) = x \to 1^{-} lim \frac{3 ( x + \frac{1}{3} )}{x - 1} = [\frac{3 \cdot ( 1 + \frac{1}{3} )}{0 ^{-}}] = - \infty$

$5) x \to 1^{+} lim f (x) = x \to 1^{+} lim \frac{3 ( x + \frac{1}{3} )}{x - 1} = [\frac{3 \cdot ( 1 + \frac{1}{3} )}{0 ^{+}}] = + \infty$

$6) x \to + \infty lim f (x) = x \to + \infty lim \frac{3 ( x + \frac{1}{3} )}{x - 1} = x \to + \infty lim \frac{3 ( 1 + \frac{\frac{1}{3}}{x} )}{1 - \frac{1}{x}} = [\frac{3 \cdot 1}{1}] = 3$

Uwaga: granice (4) i (5) obliczamy w oparciu o przybliżony wykres funkcji y=x-1.

Na jego podstawie wnioskujemy, że

gdy x dąży do 1 z lewej strony, to mianownik ułamka we wzorze funkcji f dąży do 0 poprzez wartości ujemne
gdy x dąży do 1 z prawej strony, to mianownik ułamka we wzorze funkcji f dąży do 0 poprzez wartości dodatnie

Zauważmy, że

$f (x) = \frac{12 x - 3 x ^{3}}{_{a = 1, Δ = 25} ^{x_{1} = - 3, x_{2} = 2} x ^{2} + x - 6} = \frac{- 3 x ( x ^{2} - 4 )}{( x + 3 ) ( x - 2 )} = \frac{- 3 x ( x - 2 ) ( x + 2 )}{( x + 3 ) ( x - 2 )} = \frac{- 3 x ( x + 2 )}{x + 3}$

$D_{f} = R \ {- 3, 2}$

Obliczamy granice:

$1) x \to - \infty lim f (x) = x \to - \infty lim \frac{12 x - 3 x ^{3}}{x ^{2} + x - 6} = x \to - \infty lim \frac{\frac{12}{x} - 3 x}{1 + \frac{1}{x} - \frac{6}{x ^{2}}} = [\frac{0 - ( - \infty )}{1}] = + \infty$

$2) x \to - 3^{-} lim f (x) = x \to - 3^{-} lim \frac{- 3 x ( x + 2 )}{x + 3} = [\frac{- 3 \cdot ( - 3 ) \cdot ( - 1 )}{0 ^{-}}] = + \infty$

$3) x \to - 3^{+} lim f (x) = x \to - 3^{+} lim \frac{- 3 x ( x + 2 )}{x + 3} = [\frac{- 3 \cdot ( - 3 ) \cdot ( - 1 )}{0 ^{+}}] = - \infty$

$4) x \to 0 lim f (x) = (*) f (0) = 0^{(*) bo funkcja f jest ci ą g ł a w punkcie x_{0} = 0 jako funkcja wymierna}$

$5)_{Funkcja f nie jest okre \overset{s}{ˊ} lona w punkcie x_{0} = 2 . Obliczamy granice jednostronne w 2.}$

$x \to 2^{-} lim f (x) = x \to 2^{-} lim \frac{- 3 x ( x + 2 )}{x + 3} = [\frac{- 3 \cdot 2 \cdot 4}{5}] = - \frac{24}{5} = - 4 \frac{4}{5}$

$x \to 2^{+} lim f (x) = x \to 2^{+} lim \frac{- 3 x ( x + 2 )}{x + 3} = [\frac{- 3 \cdot 2 \cdot 4}{5}] = - \frac{24}{5} = - 4 \frac{4}{5}$

$x \to 2^{-} lim f (x) = x \to 2^{-} lim f (x) = - 4 \frac{4}{5} \Rightarrow 5) x \to 2 lim f (x) = - 4 \frac{4}{5}$

$6) x \to + \infty lim f (x) = x \to + \infty lim \frac{12 x - 3 x ^{3}}{x ^{2} + x - 6} = x \to + \infty lim \frac{\frac{12}{x} - 3 x}{1 + \frac{1}{x} - \frac{6}{x ^{2}}} = [\frac{0 - ( + \infty )}{1}] = - \infty$

Uwaga: granice (2) i (3) obliczamy w oparciu o przybliżony wykres funkcji y=x+3.

Na jego podstawie wnioskujemy, że

gdy x dąży do -3 z lewej strony, to mianownik ułamka we wzorze funkcji f dąży do 0 poprzez wartości ujemne
gdy x dąży do -3 z prawej strony, to mianownik ułamka we wzorze funkcji f dąży do 0 poprzez wartości dodatnie