Niech x0 należy do dziedziny funkcji f.     Funkcja f jest ciągła w punkcie x0, gdy spełnione są oba warunki:     funkcja f ma w punkcie x0 granicę właściwą   $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)$    granica ta jest równa wartości funkcji f w punkcie x0    $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=f\left(x_0\right)$

a)

Funkcja

$f\left(x\right)=5x-4,D_f=\mathbb{R}$  

jest ciągła (jako funkcja wielomianowa), zatem dla każdego x₀ należącego do dziedziny tej funkcji zachodzi równość

$\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=f\left(x_0\right)$  

Wobec tego

$\underset{=6}{\underbrace{\underset{x\to x_0}{\lim }\left(5x-4\right)}}=\underset{=5x_0-4}{\underbrace{f\left(x_0\right)}}$  

zatem

$6=5x_0-4$

$x_0=\underline{\underline{2}}$   

---

b)

Funkcja

$f\left(x\right)=\frac{5}{x+2},D_f=\mathbb{R}\backslash \left\{-2\right\}$  

jest ciągła (jako funkcja wymierna), zatem dla każdego x₀ należącego do dziedziny tej funkcji zachodzi równość

$\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=f\left(x_0\right)$  

Wobec tego

$\underset{=-5}{\underbrace{\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{5}{x+2}}}=\underset{=\frac{5}{x_0+2}}{\underbrace{f\left(x_0\right)}}$  

zatem

$-5=\frac{5}{x_0+2}$

$-5x_0-10=5$   

$x_0=\underline{\underline{-3}}$  

---

c)

Funkcja

$f\left(x\right)=\sqrt{x+1},D_f=⟨-1;+\infty )$  

jest ciągła, zatem dla każdego x₀ należącego do dziedziny tej funkcji zachodzi równość

$\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=f\left(x_0\right)$  

Wobec tego

$\underset{=2}{\underbrace{\underset{x\to x_0}{\lim }\sqrt{x+1}}}=\underset{=\sqrt{x_0+1}}{\underbrace{f\left(x_0\right)}}$  

zatem

$2=\sqrt{x_0+1}{\mid }^2{}_{\text{wolno, obie strony roˊwnania są nieujemne}}$

$4=x_0+1$   

$x_0=\underline{\underline{3}}$  

---

d)

Funkcja

$f\left(x\right)=3^x,D_f=\mathbb{R}$  

jest ciągła (jako funkcja wykładnicza), zatem dla każdego x₀ należącego do dziedziny tej funkcji zachodzi równość

$\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=f\left(x_0\right)$  

Wobec tego

$\underset{=\frac{1}{9}}{\underbrace{\underset{x\to x_0}{\lim }\left(3^x\right)}}=\underset{=3^{x_0}}{\underbrace{f\left(x_0\right)}}$  

zatem

$\frac{1}{9}=3^{x_0}$

$3^{-2}=3^{x_0}$   

Korzystając z różnowartościowości funkcji wykładniczej, otrzymujemy

$x_0=\underline{\underline{-2}}$

---

e)

Funkcja

$f\left(x\right)=x^2-5x,D_f=\mathbb{R}$  

jest ciągła (jako funkcja wielomianowa), zatem dla każdego x₀ należącego do dziedziny tej funkcji zachodzi równość

$\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=f\left(x_0\right)$  

Wobec tego

$\underset{=-4}{\underbrace{\underset{x\to x_0}{\lim }\left(x^2-5x\right)}}=\underset{=x_0^2-5x_0}{\underbrace{f\left(x_0\right)}}$  

zatem

$-4=x_0^2-5x_0$

$x_0^2-5x_0+4=0$   

$\Delta =9;\sqrt{\Delta }=3$  

$x_0=\underline{\underline{4}}\vee x_0=\underline{\underline{1}}$  

---

f)

Funkcja

$f\left(x\right)=\frac{3x-1}{2x},D_f=\mathbb{R}\backslash \left\{0\right\}$  

jest ciągła (jako funkcja wymierna), zatem dla każdego x₀ należącego do dziedziny tej funkcji zachodzi równość

$\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=f\left(x_0\right)$  

Wobec tego

$\underset{=2}{\underbrace{\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{3x-1}{2x}}}=\underset{=\frac{3x_0-1}{2x_0}}{\underbrace{f\left(x_0\right)}}$  

zatem

$2=\frac{3x_0-1}{2x_0}$

$4x_0=3x_0-1$   

$x_0=\underline{\underline{-1}}$