a)

Rozważmy funkcję

$f\left(x\right)=\{\begin{array}{l}{2}^{x-p}\text{dla}x<1\\ 4^p+{\log }_{2}x\text{dla}x\ge 1\end{array}$

1. Obliczamy granicę lewostronną funkcji f w punkcie x₀=1.

Niech (x_n) będzie ciągiem argumentów funkcji f, takim, że 

$x_n<1\text{dla}n\in \mathbb{N}\text{i}\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n=1$

Badamy granicę odpowiadającego mu ciągu wartości (f(x_n)).

$\underset{n\to +\infty }{\lim }f\left(x_n\right)=\underset{n\to +\infty }{\lim }{2}^{x_n-p}=2^{1-p}$

Zatem

$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underline{\underline{2^{1-\mathbf{p}}}}$  

2. Obliczamy granicę prawostronną funkcji f w punkcie x₀=1.

Niech (x_n) będzie ciągiem argumentów funkcji f, takim, że 

$x_n>1\text{dla}n\in \mathbb{N}\text{i}\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n=1$

Badamy granicę odpowiadającego mu ciągu wartości (f(x_n)).

$\underset{n\to +\infty }{\lim }f\left(x_n\right)=\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(4^p+{\log }_2{x}_n\right)=4^p+{\log }_{2}1=4^p+0=4^p$

Zatem

$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underline{\underline{4^{\mathbf{p}}}}$  

Mamy więc

$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)\iff 2^{1-p}=4^p$  

$2^{1-p}=2^{2p}$  

${}_{\text{Korzystając z roˊz˙nowartosˊciowosˊci}}$  

${}^{\text{funkcji}y=2^x,\text{otrzymujemy:}}$  

$1-p=2p$  

$p=\underline{\underline{\frac{1}{3}}}$  

---

b)

Rozważmy funkcję

$f\left(x\right)=\{\begin{array}{l}\text{sin}\frac{\pi }{x}-p\text{dla}x<1\\ p+\text{cos}\frac{\pi }{x}\text{dla}x\ge 1\end{array}$

1. Obliczamy granicę lewostronną funkcji f w punkcie x₀=1.

Niech (x_n) będzie ciągiem argumentów funkcji f, takim, że 

$x_n<1\text{dla}n\in \mathbb{N}\text{i}\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n=1$

Badamy granicę odpowiadającego mu ciągu wartości (f(x_n)).

$\underset{n\to +\infty }{\lim }f\left(x_n\right)=\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\text{sin}\frac{\pi }{x_n}-p\right)=\text{sin}\pi -p=0-p=-p$

Zatem

$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underline{\underline{-\mathbf{p}}}$  

2. Obliczamy granicę prawostronną funkcji f w punkcie x₀=1.

Niech (x_n) będzie ciągiem argumentów funkcji f, takim, że 

$x_n>1\text{dla}n\in \mathbb{N}\text{i}\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n=1$

Badamy granicę odpowiadającego mu ciągu wartości (f(x_n)).

$\underset{n\to +\infty }{\lim }f\left(x_n\right)=\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(p+\text{cos}\frac{\pi }{x}\right)=p+\text{cos}\pi =p-1$

Zatem

$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underline{\underline{\mathbf{p}-1}}$  

Mamy więc

$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)\iff -p=p-1$  

$2p=1$  

$p=\underline{\underline{0,5}}$