W schemacie Bernoullego prawdopodobieństwo otrzymania k sukcesów w n próbach możemy obliczyć ze wzoru ${\mathbf{P}}_{\mathbf{n}}\left(\mathbf{k}\right)=\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)\cdot {\mathbf{p}}^{\mathbf{k}}\cdot {\left(1-\mathbf{p}\right)}^{\mathbf{n}-\mathbf{k}}$ gdzie n to liczba prób, k to liczba sukcesów w tych n próbach, a p to prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie.

a)

Niech

p - prawdopodobieństwo wygrania meczu przez żółwie

Wówczas

¹/₃ p - prawdopodobieństwo wygrania meczu przez ślimaki

Zauważmy, że wygranie meczu przez ślimaki jest równoznaczne z przegraniem meczu przez żółwie. Zatem

$1-p=\frac{1}{3}p$

$\frac{4}{3}p=1$   

$p=\frac{3}{4}$  

Wobec tego

³/₄ - prawdopodobieństwo wygrania meczu przez żółwie

¹/₄ - prawdopodobieństwo wygrania meczu przez ślimaki

Rozważmy zdarzenie

A - żółwie wygrają 5 z 6 meczy

Prawdopodobieństwo zdarzenia A możemy obliczyć, wykorzystując schemat Berloullego. Ustalmy, że przez sukces rozumiemy wygranie przez żółwie pojedynczego meczu. Wówczas

$P\left(A\right)=P_6\left(5\right)=\left(\begin{array}{c}6\\ 5\end{array}\right)\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^5\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^{6-5}=6\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^5\cdot \left(\frac{1}{4}\right)=\underline{\underline{\frac{729}{2048}}}$  

Rozważmy zdarzenie

B - sunące ślimaki wygrają co najmniej 2 mecze

Ślimaki mają wygrać co najmniej 2 mecze. Oznacza to, że żółwie mają wygrać co najwyżej 4 mecze.

l. meczy wygranych przez ślimaki	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
l. meczy wygranych przez żółwie	$4$	$3$	$2$	$1$	$0$

Prawdopodobieństwo zdarzenia B możemy obliczyć, wykorzystując schemat Berloullego. Ustalmy jak wcześniej, że przez sukces rozumiemy wygranie przez żółwie pojedynczego meczu. Wówczas

$P\left(B\right)=P_6\left(0\right)+P_6\left(1\right)+P_6\left(2\right)+P_6\left(3\right)+P_6\left(4\right)=1-\text{[}\underset{P\left(A\right)}{\underbrace{P_6\left(5\right)}}+P_6\left(6\right)\text{]}=$  

$=1-\left[\frac{729}{2048}+\left(\begin{array}{c}6\\ 6\end{array}\right)\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^6\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^{6-6}\right]=1-\left[\frac{729}{2048}+{\left(\frac{3}{4}\right)}^6\right]=1-\left[\frac{729}{2048}+\frac{729}{4096}\right]=$  

$=1-\left[\frac{1458}{4096}+\frac{729}{4096}\right]=1-\frac{2187}{4096}=\underline{\underline{\frac{1909}{4096}}}$  

Zatem

$P\left(A\right)=\frac{729}{2048}=\frac{1458}{4096}<\frac{1909}{4096}=P\left(B\right)$  

Odp.: Bardziej prawdopodobne jest zdarzenie B.