Współrzędne (xS , yS) środka odcinka o końcach  $\left(x_A,y_A\right),\left(x_B,y_B\right)$   możemy obliczyć, korzystając z następujących wzorów: $x_S=\frac{x_A+x_B}{2},y_S=\frac{y_A+y_B}{2}$   Długość odcinka AB możemy obliczyć, korzystając ze wzoru: $\left|AB\right|=\sqrt{{\left(x_B-x_A\right)}^2+{\left(y_B-y_A\right)}^2}$

a) Niech punkt S=(x_S, y_S) będzie środkiem odcinka AB i niech |AB| oznacza długość odcinka o końcach w punktach A i B.

Zauważmy, że drugie współrzędne punktów A i B są takie same:

$A=\stackrel{x_A}{\text{(}7},\stackrel{y_A}{-8\text{)}}\text{,}B=\stackrel{x_B}{\text{(}-2},\stackrel{y_B}{-8\text{)}}$  

Oznacza to, że punkty te leżą na prostej o równaniu y = -8, czyli cały odcinek AB jest zawarty w tej prostej.

W szczególności na tej prostej leży również środek S odcinka AB, więc jego druga współrzędna to:

$y_S=-8$

Pierwszą współrzędną środka odcinka AB obliczamy, korzystając ze wzoru na współrzędne środka odcinka:

$x_S=\frac{7+\left(-2\right)}{2}=\frac{5}{2}=2\frac{1}{2}$   

Zatem 

$\underline{\underline{\mathbf{S}=\left(2\frac{1}{2},-8\right)}}$  

Odcinek AB jest równoległy do osi OX układu współrzędnych, więc aby znaleźć jego długość, wystarczy zbadać odległość między liczbami będącymi pierwszymi współrzędnymi punktów A i B, tj. między liczbą -2 i 7.

$\left|7-\left(-2\right)\right|=\left|7+2\right|=\left|9\right|=9$  

Zatem

$\underline{\underline{\left|\mathbf{A}\mathbf{B}\right|=9}}$  

 Odp.: Współrzędne środka odcinka AB: (2¹/₂, -8)
           Długość odcinka o końcach w punktach A i B: 9

---

 b) Niech punkt S=(x_S, y_S) będzie środkiem odcinka AB i niech |AB| oznacza długość odcinka o końcach w punktach A i B.

Zauważmy, że pierwsze współrzędne punktów A i B są takie same:

$A=\stackrel{x_A}{\text{(}-6},\stackrel{y_A}{-11\text{)}}\text{,}B=\stackrel{x_B}{\text{(}-6},\stackrel{y_B}{-20}\text{)}$  

Oznacza to, że punkty te leżą na prostej o równaniu x = -6, czyli cały odcinek AB jest zawarty w tej prostej.

W szczególności na tej prostej leży również środek S odcinka AB, więc jego pierwsza współrzędna to:

$x_S=-6$

Drugą współrzędną środka odcinka AB obliczamy, korzystając ze wzoru na współrzędne środka odcinka:

$y_S=\frac{-11+\left(-20\right)}{2}=\frac{-31}{2}=-\frac{31}{2}=-15\frac{1}{2}$   

Zatem 

$\underline{\underline{\mathbf{S}=\left(-6,-15\frac{1}{2}\right)}}$  

Odcinek AB jest równoległy do osi OY układu współrzędnych, więc aby znaleźć jego długość, wystarczy zbadać odległość między liczbami będącymi drugimi współrzędnymi punktów A i B, tj. między liczbą -11 i -20:

$\left|-20-\left(-11\right)\right|=\left|-20+11\right|=\left|-9\right|=9$  

Zatem

$\underline{\underline{\left|\mathbf{A}\mathbf{B}\right|=9}}$  

 Odp.: Współrzędne środka odcinka AB: (-6, -15¹/₂)
           Długość odcinka o końcach w punktach A i B: 9

---

c) Niech punkt S=(x_S, y_S) będzie środkiem odcinka AB i niech |AB| oznacza długość odcinka o końcach w punktach A i B.

Zaznaczmy w układzie współrzędnych punkty A i B i narysujmy odcinek o końcach w tych punktach.

Odcinek o końcach w punktach A i B nie jest równoległy ani do osi OX, ani do osi OY układu współrzędnych. Współrzędne środka odcinka AB oraz długość odcinka AB wyliczamy, podstawiając współrzędne punktów A i B do odpowiednich wzorów.

$A=\stackrel{x_A}{\text{(}-6},\stackrel{y_A}{-7\text{)}}\text{,}B=\stackrel{x_B}{\text{(}6},\stackrel{y_B}{-2}\text{)}$  

Środek odcinka AB:

$S=\left(x_S,y_S\right)=\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)=\left(\frac{-6+6}{2},\frac{-7+\left(-2\right)}{2}\right)=\left(\frac{0}{2},-\frac{9}{2}\right)=\underline{\underline{\left(0,-4\frac{1}{2}\right)}}$  

Długość odcinka AB:

$\left|AB\right|=\sqrt{{\left(x_B-x_A\right)}^2+{\left(y_B-y_A\right)}^2}=\sqrt{{\left(6-\left(-6\right)\right)}^2+{\left(-2-\left(-7\right)\right)}^2}=\sqrt{{12}^2+5^2}=$  
$=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=\underline{\underline{13}}$  

 Odp.: Współrzędne środka odcinka AB: (0, 4¹/₂)
           Długość odcinka o końcach w punktach A i B: 13

UWAGA:   Pamiętaj, że pierwiastka z sumy NIE WOLNO rozbić na sumę pierwiastków!    Tzn. np.: $\underset{\text{BŁĄD!}}{\cancel{\sqrt{144+25}=\sqrt{144}+\sqrt{25}}}$      Zauważ bowiem, że $\underset{=13}{\underset{=\sqrt{169}=}{\sqrt{144+25}}}\ne \underset{17}{\underbrace{\underset{=12}{\sqrt{144}}+\underset{=5}{\sqrt{25}}}}$     Należy więc zawsze najpierw wyliczyć wartość sumy pod pierwiastkiem, a dopiero później wyciągnąć z niej pierwiastek.

---

d) Niech punkt S=(x_S, y_S) będzie środkiem odcinka AB i niech |AB| oznacza długość odcinka o końcach w punktach A i B.

Zaznaczmy w układzie współrzędnych punkty A i B i narysujmy odcinek o końcach w tych punktach.

Odcinek o końcach w punktach A i B nie jest równoległy ani do osi OX, ani do osi OY układu współrzędnych. Współrzędne środka odcinka AB oraz długość odcinka AB wyliczamy, podstawiając współrzędne punktów A i B do odpowiednich wzorów.

$A=\stackrel{x_A}{\text{(}15},\stackrel{y_A}{0\text{)}}\text{,}B=\stackrel{x_B}{\text{(}0},\stackrel{y_B}{-5}\text{)}$  

Środek odcinka AB:

$S=\left(x_S,y_S\right)=\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)=\left(\frac{15+0}{2},\frac{0+\left(-5\right)}{2}\right)=\left(\frac{15}{2},-\frac{5}{2}\right)=\underline{\underline{\left(7\frac{1}{2},-2\frac{1}{2}\right)}}$  

Długość odcinka AB:

$\left|AB\right|=\sqrt{{\left(x_B-x_A\right)}^2+{\left(y_B-y_A\right)}^2}=\sqrt{{\left(0-15\right)}^2+{\left(-5-0\right)}^2}=\sqrt{{15}^2+{\left(-5\right)}^2}=$  
$=\sqrt{225+25}=\sqrt{250}=\sqrt{25\cdot 10}=\sqrt{25}\cdot \sqrt{10}=5\cdot \sqrt{10}=\underline{\underline{5\sqrt{10}}}$  

 Odp.: Współrzędne środka odcinka AB: (7¹/₂, -2¹/₂)
           Długość odcinka o końcach w punktach A i B: 5√10

---

e) Niech punkt S=(x_S, y_S) będzie środkiem odcinka AB i niech |AB| oznacza długość odcinka o końcach w punktach A i B.

Współrzędne środka odcinka AB oraz długość odcinka AB wyliczamy, podstawiając współrzędne punktów A i B do odpowiednich wzorów.

$A=\stackrel{x_A}{\text{(}-297},\stackrel{y_A}{322\text{)}}\text{,}B=\stackrel{x_B}{\text{(}-291},\stackrel{y_B}{319}\text{)}$  

Środek odcinka AB:

$S=\left(x_S,y_S\right)=\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)=\left(\frac{-297+\left(-291\right)}{2},\frac{322+319}{2}\right)=\left(-\frac{588}{2},\frac{641}{2}\right)=$  
$=\underline{\underline{\left(-294,320\frac{1}{2}\right)}}$  

Długość odcinka AB:

$\left|AB\right|=\sqrt{{\left(x_B-x_A\right)}^2+{\left(y_B-y_A\right)}^2}=\sqrt{{\left(-291-\left(-297\right)\right)}^2+{\left(319-322\right)}^2}=\sqrt{6^2+3^2}=$  
$=\sqrt{36+9}=\sqrt{45}=\sqrt{9\cdot 5}=\sqrt{9}\cdot \sqrt{5}=3\cdot \sqrt{5}=\underline{\underline{3\sqrt{5}}}$  

---

f) Niech punkt S=(x_S, y_S) będzie środkiem odcinka AB i niech |AB| oznacza długość odcinka o końcach w punktach A i B.

Współrzędne środka odcinka AB oraz długość odcinka AB wyliczamy, podstawiając współrzędne punktów A i B do odpowiednich wzorów.

$A=\stackrel{x_A}{\text{(}3\sqrt{2}},\stackrel{y_A}{-3\text{)}}\text{,}B=\stackrel{x_B}{\text{(}-7\sqrt{2}},\stackrel{y_B}{2}\text{)}$  

Środek odcinka AB:

$S=\left(x_S,y_S\right)=\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)=\left(\frac{3\sqrt{2}+\left(-7\sqrt{2}\right)}{2},\frac{-3+2}{2}\right)=\left(\frac{-4\sqrt{2}}{2},-\frac{1}{2}\right)=$  
$=\underline{\underline{\left(-2\sqrt{2},-\frac{1}{2}\right)}}$   

Długość odcinka AB:

$\left|AB\right|=\sqrt{{\left(x_B-x_A\right)}^2+{\left(y_B-y_A\right)}^2}=\sqrt{{\left(3\sqrt{2}-\left(-7\sqrt{2}\right)\right)}^2+{\left(2-\left(-3\right)\right)}^2}=$  
$=\sqrt{{\left(10\sqrt{2}\right)}^2+5^2}=\sqrt{200+25}=\sqrt{225}=\underline{\underline{15}}$  

 Odp.: Współrzędne środka odcinka AB: (-2√2, -¹/₂)
           Długość odcinka o końcach w punktach A i B: 15