Rysunek pomocniczy:

Zauważmy, z tego że suma miar kątów w trójkącie ACS jest równa 180° wiemy że

$\left|\sphericalangle ACS\right|={180}^{\circ }-{90}^{\circ }-{30}^{\circ }={60}^{\circ }$  

$\left|\sphericalangle ABC\right|=\left|\sphericalangle DCS\right|={30}^{\circ }$  

Zatem otrzymujemy, że

$\left|\sphericalangle ACD\right|={60}^{\circ }-{30}^{\circ }={30}^{\circ }$  

Wobec tego trójkąt ADC to trójkąt równoramienny, zatem:

$\left|AD\right|=\left|DC\right|$  

oraz

$\left|\sphericalangle ADC\right|={180}^{\circ }-{30}^{\circ }-{30}^{\circ }={120}^{\circ }$  

---

Oznaczmy:

DE - wysokość trapezu ABCD poprowadzona z wierzchołka D

CF - wysokość trapezu ABCD poprowadzona z wierzchołka C

Rozważmy połowę trójkąta równoramiennego ADC, z własności funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym mamy

$\cos {30}^{\circ }=\frac{\frac{1}{2}\left|AC\right|}{\left|AD\right|}$  

$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\frac{5}{2}}{\left|AD\right|}$  

$\left|AD\right|=\frac{\frac{5}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$  

$\left|AD\right|=\frac{5}{\sqrt{3}}$  

$\left|AD\right|=\frac{5\sqrt{3}}{3}$  

Zatem

$\left|DC\right|=\frac{5\sqrt{3}}{3}$  

Rozważmy teraz trójkąt AED. Z własności trygonometrycznych zachodzi

$\frac{\left|DE\right|}{\left|AD\right|}=\sin BAD$  

$\frac{\left|DE\right|}{\frac{5\sqrt{3}}{3}}=\sin {60}^{\circ }$  

$\frac{\left|DE\right|}{\frac{5\sqrt{3}}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$  

$\left|DE\right|=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{5\sqrt{3}}{3}$  

$\left|DE\right|=\frac{5}{2}$  

Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ACF mamy

${\left|AF\right|}^2+{\left|FC\right|}^2={\left|AC\right|}^2$  

${\left|AF\right|}^2+{2,5}^2=5^2$  

${\left|AF\right|}^2+6,25=25\mid -6,25$  

${\left|AF\right|}^2=18,75$  

${\left|AF\right|}^2=\frac{75}{4}$  

$\left|AF\right|=\frac{5\sqrt{3}}{2}$  

W trójkącie CFB zachodzi

$\frac{\left|CF\right|}{\left|FB\right|}=\mathrm{tg}{30}^{\circ }$  

$\left|FB\right|=\left|AF\right|$  

Zatem

$\left|FB\right|=\frac{5\sqrt{3}}{3}$  

Stąd wiemy, że

$\left|AB\right|=\frac{5\sqrt{3}}{3}+\frac{5\sqrt{3}}{3}=2\cdot \frac{5\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}$  

---

Wyznaczmy pole tego trapezu.

$P=\frac{\left(\left|AB\right|+\left|CD\right|\right)\cdot \left|DE\right|}{2}=\frac{\left(5\sqrt{3}+\frac{5\sqrt{3}}{3}\right)\cdot \frac{5}{2}}{2}=\frac{\left(\frac{15\sqrt{3}}{3}+\frac{5\sqrt{3}}{3}\right)\cdot \frac{5}{2}}{2}=\frac{\frac{20\sqrt{3}}{3}\cdot \frac{5}{2}}{2}=\frac{\frac{100\sqrt{3}}{6}}{2}=\frac{100\sqrt{3}}{12}=\frac{25\sqrt{3}}{3}$