Mamy nierówność

$\frac{1}{\mathrm{tg}x}\ge \frac{1}{2\sin x}$  

Założenie:

$2\sin x\ne 0\wedge \mathrm{tg}x\ne 0$  

$x\ne k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

Zgadza się to ze zbiorem rozważanych x z treści zadania, ale powinniśmy zrobić dodatkowe założenie dla tangensa

$x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

Czyli prawdziwa dziedzina tej nierówności to

$D=⟨-\pi ,\pi ⟩\backslash \left\{-\frac{\pi }{2},0,\frac{\pi }{2}\right\}$  

---

$\frac{\cos x}{\sin x}\ge \frac{1}{2\sin x}$      

$\frac{2\cos x}{2\sin x}-\frac{1}{2\sin x}\ge 0\mid \cdot 2{\sin }^{2}x$  

$2{\sin }^{}x\cos x-\sin x\ge 0$  

$\sin x\left(2\cos x-1\right)\ge 0$

Iloczyn liczb jest nieujemny gdy dwie liczby są nieujemne lub gdy są niedodanie.

Przypadek I. Obie są nieujemne.

$\sin x\ge 0\wedge 2\cos x-1\ge 0$  

$\sin x\ge 0\wedge \cos x\ge \frac{1}{2}$  

Rysunek pomocniczy.

W rozważanym przedziale

$x\in (0,\frac{\pi }{3}⟩$  

Przypadek II. Obie są niedodatnie.

$\sin x\le 0\wedge 2\cos x-1\le 0$  

$\sin x\le 0\wedge \cos x\le \frac{1}{2}$  

Rysunek pomocniczy.

W rozważanym przedziale

$x\in \left(-\pi ,-\frac{\pi }{2}\right)\cup (-\frac{\pi }{2},-\frac{\pi }{3}⟩$  

---

Zatem ostatecznie otrzymujemy:

$x\in \left(-\pi ,-\frac{\pi }{2}\right)\cup (-\frac{\pi }{2},-\frac{\pi }{3}⟩\cup (0,\frac{\pi }{3}⟩$