Założenia:

$x,y\in \mathbb{R}$

$xy>3$   

Teza:

$x^4+y^4\ge 18$  

---

Dowód:

Przekształćmy założenie

$xy>3$

${\left(xy\right)}^2>9\left({\{}^{.}\right)$   

Zapiszmy

$x^4+y^4\ge 18$  

$x^4-2x^2{y}^2+y^4\ge 18-2x^2{y}^2$  

${\left(x^2-y^2\right)}^2\ge 18-2x^2{y}^2\left(\ast \right)$  

Zauważmy, że

$18-2\cdot {\left(xy\right)}^2<18-2\cdot 9=0$  

Prawa strona nierówności (*) jest ujemna. Z lewej mamy liczbę rzeczywistą nieujemną. Stad nierówność jest spełniona, ponieważ liczba nieujemna jest większa od liczby ujemnej. Zatem teza jest prawdziwa.

c.b.d.u.