MAmy dane

$P\left(A\mid B\right)=0,4$

$P\left(B\mid A\right)=0,5$   

---

Ze wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe

$P\left(\left(A\cap B\right)\mid \left(A\cup B\right)\right)=\frac{P\left(\left(A\cap B\right)\cap \left(A\cup B\right)\right)}{P\left(A\cup B\right)}=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(A\cup B\right)}$  

Mamy 

• ze wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe
  $P\left(A\mid B\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}$  
  $\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}=0,4$  
  $P\left(A\cap B\right)=0,4P\left(B\right)\left(1\right)$
• ze wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe
  $P\left(B\mid A\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(A\right)}$  
  $\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(A\right)}=0,5$  
  $P\left(A\cap B\right)=0,5P\left(A\right)$

Stąd

$0,5P\left(A\right)=0,4P\left(B\right)$  

$P\left(A\right)=0,8P\left(B\right)\left(2\right)$  

Do wzoru na prawdopodobieństwo sumy zdarzeń

$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)$  

wstawiamy (1) i (2)

$P\left(A\cup B\right)=0,8P\left(B\right)+P\left(B\right)-0,4P\left(B\right)=1,4P\left(B\right)\left(3\right)$  

Zatem wstawimy teraz (1) i (3) do pierwszego wzoru, który rozpisaliśmy

$\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(A\cup B\right)}=\frac{0,4P\left(B\right)}{1,4P\left(B\right)}=\frac{2}{7}$  

c.b.d.u.