Zauważmy, że usadzając osiem różnych osób na ośmiu miejscach ustalamy ich kolejność. Zatem wszystkich możliwości ustawień jest

$8!$  

---

A. Załóżmy, że osoby zaczynają siadać do stołu. Osoba X wybiera jedno z ośmiu miejsc. Następnie osoba Y musi wybrać jedno z 5 miejsc - jedno jest zajęte przez osobę X a na dwóch sąsiednich nie może usiąść. Kolejne osoby wybierają dowolne miejsca zatem mogą to zrobić na 6! sposobów. Otrzymamy

$8\cdot 5\cdot 6!$  

Stąd prawdopodobieństwo wynosi

$\frac{8\cdot 5\cdot 6!}{8!}=\frac{8\cdot 5}{7\cdot 8}=\frac{5}{7}$

PRAWDA.

---

B. Załóżmy, że osoby zaczynają siadać do stołu. Dla osób X, Y i Z szukamy trzech miejsc obok siebie. Wybieramy 3 miejsca obok siebie z 8 - takich możliwości jest 8.

Te osoby mogą siedzieć obok siebie w różniej kolejności zatem ich ustawień pomiędzy sobą jest 3!. Inne osoby wybierają dowolne miejsca zatem mogą to zrobić na 5! sposobów. Otrzymamy

$8\cdot 3!\cdot 5!$  

Stąd prawdopodobieństwo wynosi

$\frac{8\cdot 3!\cdot 5!}{8!}=\frac{8\cdot 3!}{6\cdot 7\cdot 8}=\frac{6}{6\cdot 7}=\frac{1}{7}$

PRAWDA.

---

C. Załóżmy, że osoby zaczynają siadać do stołu. Osoba X wybiera jedno z ośmiu miejsc. Następnie osoba Y musi wybrać jedno z 2 miejsc - jedno z dwóch sąsiednich. Osoba Z wybiera jedno z 4 miejsc - dwa są zajęte przez osoby X i Y, i nie może wybrać dwóch miejsc z nimi sąsiadujących (bo siedzą obok siebie). Kolejne osoby wybierają dowolne miejsca zatem mogą to zrobić na 5! sposobów. Otrzymamy

$8\cdot 2\cdot 4\cdot 5!$  

Stąd prawdopodobieństwo wynosi

$\frac{8\cdot 2\cdot 4\cdot 5!}{8!}=\frac{8\cdot 2\cdot 4}{6\cdot 7\cdot 8}=\frac{4}{21}$

PRAWDA.