Wybieramy trzy liczby ze zbioru {1, 2, 3, 4, 5, 8}. Mamy

$\overline{\overline{\Omega }}=\left(\begin{array}{c}6\\ 3\end{array}\right)=\frac{6!}{3!\cdot 3!}=\frac{3!\cdot 4\cdot 5\cdot 6}{3!\cdot 2\cdot 3}=20$  

---

a) Zdarzenie A - wybrane liczby są długościami boków trójkąta. Wypiszmy wszystkie możliwe trójki, które spełniają nierówność trójkąta.

$A=\left\{\left(2,3,4\right),\left(2,4,5\right),\left(3,4,5\right),\left(4,5,8\right)\right\}$  

Mamy

$\overline{\overline{A}}=4$  

Stąd

$P\left(A\right)=\frac{4}{20}=\frac{1}{5}$  

---

b) Zdarzenie B - wybrane liczby są długościami boków trójkąta prostokątnego. Będziemy sprawdzać czy zachodzi twierdzenie Pitagorasa dla trójek, które znaleźliśmy w podpunkcie a).

Zauważmy, że:

$2^2+3^2\ne 4^2$  

$4+9\ne 16$  

 

$2^2+4^2\ne 5^2$  

$4+16\ne 25$  

 

$3^2+4^2=5^2$  

$9+16=25$  

 

$4^2+5^2\ne 8^2$  

$16+25\ne 64$  

 

Zatem:

$B=\left\{\left(3,4,5\right)\right\}$  

$\overline{\overline{B}}=1$  

Stąd

$P\left(B\right)=\frac{1}{20}$  

---

c) Zdarzenie C - wybrane liczby są długościami boków trójkąta rozwartokątnego. Aby trójkąta był rozwartokątny sprawdzić musi zachodzić

`a^2+b^2

gdzie c jest najdłuższym bokiem trójkąta. Zauważmy, że dla pozostałych trzech trójek, które tworzą trójkąty (nie prostokątne)

$2^2+3^2\le 4^2$

 

$4+9\le 16$  

 

$2^2+4^2\le 5^2$  

$4+16\le 25$  

 

$4^2+5^2\ne 8^2$  

$16+25\le 64$  

 

Zatem wszystkie są rozwartokątne.

$C=\left\{\left(2,3,4\right),\left(2,4,5\right),\left(4,5,8\right)\right\}$  

$\overline{\overline{C}}=3$  

Mamy

$P\left(C\right)=\frac{3}{20}$