Czworościan foremny to czworościan, którego wszystkie ściany są przystającymi trójkątami równobocznymi. Wysokości trójkąta równobocznego przecinają się w stosunku 2:1 (licząc od wierzchołka).

---

Przyjmijmy oznaczenia takie jak na poniższym rysunku:

Wiemy, że krawędź czworościanu foremnego ma długość a.

---

a)

Obliczymy objętość tego czworościanu foremnego:

$V=\frac{1}{3}\cdot \underset{\text{pole podstawy}}{\underbrace{\frac{a^2\sqrt{3}}{4}}}\cdot \underset{\text{wysokosˊcˊ}}{\underbrace{\left|SW\right|}}=\frac{a^2\sqrt{3}}{12}\cdot \left|SW\right|$  

 

Wyznaczmy |SW|.

 

Ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego:

$\left|BF\right|=\left|FW\right|=\frac{a\sqrt{3}}{2}$  

 

Zauważmy, że:

$\left|FS\right|=\frac{1}{3}\cdot \left|BF\right|=\frac{1}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{6}$  

 

Z twierdzenia Pitagorasa (trójkąt FSW):

${\left|FS\right|}^2+{\left|SW\right|}^2={\left|FW\right|}^2$  

${\left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)}^2+{\left|SW\right|}^2={\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2$  

$\frac{3a^2}{36}+{\left|SW\right|}^2=\frac{3a^2}{4}$  

${\left|SW\right|}^2=\frac{27a^2}{36}-\frac{3a^2}{36}$  

${\left|SW\right|}^2=\frac{24a^2}{36}$  

${\left|SW\right|}^2=\frac{2a^2}{3}$  

Długości odcinków są dodatnie, więc:

$\left|SW\right|=\sqrt{\frac{2a^2}{3}}$  

$\left|SW\right|=\frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{3}}$  

$\left|SW\right|=\frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$  

$\left|SW\right|=\frac{\sqrt{6}a}{3}$  

 

Zatem:

$V=\frac{a^2\sqrt{3}}{12}\cdot \frac{\sqrt{6}a}{3}=\frac{a^3\sqrt{18}}{36}=\frac{a^3\sqrt{9\cdot 2}}{36}=\frac{a^3\cdot 3\sqrt{2}}{36}=\underline{\underline{\frac{a^3\sqrt{2}}{12}}}$  

 

Obliczamy pole powierzchni całkowitej tego czworościanu foremnego:

$P_c=4\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\underline{\underline{a^2\sqrt{3}}}$  

---

b)

Ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego:

$\left|AG\right|=\left|CG\right|=\frac{a\sqrt{3}}{2}$  

 

Z twierdzenia cosinusów (trójkąt ACG):

${\left|AC\right|}^2={\left|AG\right|}^2+{\left|CG\right|}^2-2\cdot \left|AG\right|\cdot \left|CG\right|\cdot \cos \alpha$  

$a^2={\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2+{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2-{\cancel{2}}^1\cdot \frac{a\sqrt{3}}{{\cancel{2}}^1}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot \cos \alpha$  

$a^2=\frac{3a^2}{4}+\frac{3a^2}{4}-\frac{3a^2}{2}\cdot \cos \alpha$  

$a^2=\frac{{\cancel{6}}^3{a}^2}{{\cancel{4}}^2}-\frac{3a^2}{2}\cdot \cos \alpha$  

$\frac{3a^2}{2}\cdot \cos \alpha =\frac{3a^2}{2}-a^2$  

$\frac{3a^2}{2}\cdot \cos \alpha =\frac{a^2}{2}\mid \cdot \frac{2}{3a^2}$  

$\cos \alpha =\underline{\underline{\frac{1}{3}}}$  

$\cos \alpha \approx 0,3333$  

Z tablicy wartości funkcji trygonometrycznych odczytujemy, że:

$\cos {70}^{\circ }\approx 0,3420$  

$\cos {71}^{\circ }\approx 0,3256$  

Zatem:

$\alpha \approx \underline{\underline{{71}^{\circ }}}$