Przyjmijmy oznaczenia takie jak na poniższym rysunku:

 

Wiemy, że objętość stożka jest równa 240π cm³, więc:

$\frac{1}{3}\pi r^{2}h=240\pi \mid :\pi$  

$\frac{1}{3}{r}^{2}h=240\mid \cdot 3$  

$r^{2}h=720\mid :r^2$  

$h=\frac{720}{r^2}\left(\text{*}\right)$  

 

Wiemy, że pole przekroju osiowego stożka jest równe 180 cm², więc:

$\frac{1}{2}\cdot 2r\cdot h=180$  

$rh=180$  

Podstawiamy (*) i otrzymujemy, że:

$r\cdot \frac{720}{r^2}=180$  

$\frac{720}{r}=180\mid \cdot r$  

$720=180r$  

Stąd:

$r=4\left[\text{cm}\right]$  

 

Zatem:

$h=\frac{720}{r^2}=\frac{720}{4^2}=\frac{720}{16}=45\left[\text{cm}\right]$  

 

Z twierdzenia Pitagorasa:

$l^2=r^2+h^2$  

Długości odcinków są dodatnie, więc:

$l=\sqrt{r^2+h^2}$  

Zatem:

$l=\sqrt{4^2+{45}^2}=\sqrt{16+2025}=\sqrt{2041}\left[\text{cm}\right]$  

 

Obliczamy pole powierzchni całkowitej tego stożka:

$P_c=\pi r\left(r+l\right)=\pi \cdot 4\cdot \left(4+\sqrt{2041}\right)\approx \underline{\underline{618\left[{\text{cm}}^2\right]}}$