a) Rozwiązanie algebraiczne:
{2(x+1)−y=32x+3(y−2)=y−2
{2x+2−y=32x+3y−6=y−2
{2x−y=12x+2y=4 ∣:2
{2x−1=yx+y=2
{2x−1=yx+2x−1=2
{2x−1=y3x=3
{2x−1=yx=1
{2−1=yx=1
{1=yx=1
Rozwiązanie graficzne:
{2(x+1)−y=32x+3(y−2)=y−2
{2x+2−y=32x+3y−6=y−2
{2x−y=12x+2y=4 ∣:2
{2x−1=yx+y=2
{y=2x−1y=−x+2
Odczytujemy współrzędne punktu przecięcia tych prostych, czyli rozwiązanie układu równań.
{x=1y=1
b) Rozwiązanie algebraiczne:
{3(x−2)+2(y−1)=y−73x+1+2y−1=31(y+1) ∣⋅6
{3x−6+2y−2=y−72(x+1)+3(y−1)=2(y+1)
{3x+y=12x+2+3y−3=2y+2
{3x+y=12x+y=3
Odejmując stronami otrzymujemy:
x=−2
Zatem:
{x=−22⋅(−2)+y=3
{x=−2y=7
Rozwiązanie graficzne:
{3(x−2)+2(y−1)=y−73x+1+2y−1=31(y+1) ∣⋅6
{3x−6+2y−2=y−72(x+1)+3(y−1)=2(y+1)
{3x+y=12x+2+3y−3=2y+2
{y=−3x+1y=−2x+3
Odczytujemy współrzędne punktu przecięcia tych prostych, czyli rozwiązanie układu równań.
{x=−2y=7
c) Rozwiązanie algebraiczne:
{(x+1)2−(y−2)2=x2−y2+9(x−2)2−4(y−2)=x2+8
{x2+2x+1−(y2−4y+4)=x2−y2+9x2−4x+4−4y+8=x2+8
{x2+2x+1−y2+4y−4=x2−y2+9−4x−4y=−4
{2x+4y=12−4x−4y=−4
Dodając stronami otrzymujemy:
−2x=8
x=−4
Zatem:
{x=−4−4⋅(−4)−4y=−4
{x=−416−4y=−4
{x=−4−4y=−20
{x=−4y=5
Rozwiązanie graficzne:
{(x+1)2−(y−2)2=x2−y2+9(x−2)2−4(y−2)=x2+8
{x2+2x+1−(y2−4y+4)=x2−y2+9x2−4x+4−4y+8=x2+8
{x2+2x+1−y2+4y−4=x2−y2+9−4x−4y=−4
{2x+4y=12−4x−4y=−4
{4y=−2x+12 ∣:4−4y=4x−4 ∣:(−4)
{y=−21x+3y=−x+1
Odczytujemy współrzędne punktu przecięcia tych prostych, czyli rozwiązanie układu równań.
{x=−4y=5
d) Rozwiązanie algebraiczne:
{(x−1)2+2x=(x−1)(x+1)−y3(x−y)−2(x+y)=10+x
{x2−2x+1+2x=x2−1−y3x−3y−2x−2y=10+x
{1=−1−yx−2y=10+x
{y=−2−5y=10
{y=−2y=−2
Zatem rozwiązanie tego układu równań to:
{x∈Ry=−2
Rozwiązanie graficzne:
{(x−1)2+2x=(x−1)(x+1)−y3(x−y)−2(x+y)=10+x
{x2−2x+1+2x=x2−1−y3x−3y−2x−2y=10+x
{1=−1−yx−5y=10+x
{y=−2y=−2
Zatem rozwiązaniem tego układu równań są punkty należące do prostej y=-2.
