Założenia:

$a_n$  jest ciągiem geometrycznym o ilorazie

$q=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$  

Teza:

Dla n ≥ 2

$a_n=a_{n+1}-a_{n-1}$  

---

Dowód:

Skorzystamy z własności

$a_{n+1}=a_{n}q$  

Mamy

$a_{n+1}-a_{n-1}=a_{n}q-a_{n-1}=a_{n-1}{q}^2-a_{n-1}=a_{n-1}\left(q^2-1\right)=a_{n-1}\cdot \left({\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^2-1\right)=a_{n-1}\cdot \left(\frac{{\left(1+\sqrt{5}\right)}^2}{4}-1\right)=a_{n-1}\left(\frac{1+2\sqrt{5}+5}{4}-1\right)=a_{n-1}\left(\frac{6+2\sqrt{5}}{4}-1\right)=a_{n-1}\cdot \frac{6+2\sqrt{5}-4}{4}=a_{n-1}\cdot \frac{2+2\sqrt{5}}{4}=a_{n-1}\cdot \frac{1+\sqrt{5}}{2}=a_{n-1}q=a_n$

c.b.d.u.