Objętość ostrosłupa Objętość dowolnego ostrosłupa wyraża się za pomocą wzoru: $V=\frac{1}{3}{P}_p\cdot H$ gdzie Pp jest polem powierzchni podstawy, a H - długością wysokości tego ostrosłupa.

 

Rysunek: 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta DOS mamy:

${12}^2+x^2={15}^2$  

$144+x^2=225$  

$x^2=81\wedge x>0$  

$x=9\left[\text{cm}\right]$  

Zatem

$2x=18\left[\text{cm}\right]$  

Czyli wysokość podstawy tego ostrosłupa ma długość

$3x=27\left[\text{cm}\right]$  

---

Obliczmy, jaką długość ma krawędź podstawy a. Korzystając ze wzoru na długość wysokości w trójkącie równobocznym mamy:

$\frac{a\sqrt{3}}{2}=27\mid \cdot 2$  

$a\sqrt{3}=54\mid :\sqrt{3}$  

$a=\frac{54}{\sqrt{3}}=\frac{54\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}=\frac{54\sqrt{3}}{3}=18\sqrt{3}\left[\text{cm}\right]$  

---

Obliczmy pole powierzchni podstawy. Korzystając ze wzoru na pole trójkąta równobocznego mamy:

$P_p=\frac{{\left(18\sqrt{3}\right)}^2\cdot \sqrt{3}}{4}=\frac{324\cdot 3\cdot \sqrt{3}}{4}=243\sqrt{3}\left[{\text{cm}}^2\right]$  

---

Obliczmy objętość tego ostrosłupa. Mamy:

$V=\frac{1}{3}\cdot 243\sqrt{3}\cdot 12=243\sqrt{3}\cdot 4=\underline{\underline{972\sqrt{3}\left[{\text{cm}}^3\right]}}$