Dana jest niesymetryczna moneta. Prawdopodobieństwo wyrzucenia orła wynosi p, a prawdopodobieństwo wyrzucenia reszki wynosi q. 

---

a) 

Ilustrujemy przebieg dwukrotnego rzutu monetą na drzewie: 

Niech A oznacza zdarzenie polegające na tym, że w pierwszym rzucie wyrzucono orła, a w drugim reszkę.  

Wyznaczmy prawdopodobieństwo zdarzenia A. Mamy:

$P\left(A\right)=pq$  

Niech B oznacza zdarzenie polegające na tym, że w pierwszym rzucie wyrzucono reszkę, a w drugim orła.  

Wyznaczmy prawdopodobieństwo zdarzenia B. Mamy:

$P\left(B\right)=qp$  

Zatem

$P\left(A\right)=P\left(B\right)$

co kończy dowód.

---

b) 

Niech A oznacza zdarzenie polegające na tym, że wyrzucono co najmniej jednego orła. 

Zatem zdarzenie A' polega na tym, że nie wyrzucono żadnego orła.

Ilustrujemy przebieg trzykrotnego rzutu monetą na drzewie:

Wyznaczmy prawdopodobieństwo zdarzenia A':

$P\left(A{}^{\prime }\right)=q\cdot q\cdot q=q^3$  

Zatem

$P\left(A\right)=1-P\left(A{}^{\prime }\right)=1-q^3$

Z treści zadania wiemy, że prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe ³⁷/₆₄. Otrzymujemy więc równanie:

$1-q^3=\frac{37}{64}$

$q^3=\frac{27}{64}$

$\underline{q=\frac{3}{4}}$     

Rzucając monetą mamy dokładnie dwie możliwości - albo wypadnie reszka, albo orzeł. Zatem p+q=1, a stąd mamy:

$p+\frac{3}{4}=1$

$\underline{p=\frac{1}{4}}$   

Odp. p=¹/₄ oraz q=³/₄.