a)

Dany jest ciąg (a_n) określony wzorem

$a_n=2n-6,n\in {\mathbb{N}}_{+}$  

oraz ciąg (b_n) określony wzorem

$b_n=\frac{1}{4}n+1,n\in {\mathbb{N}}_{+}$  

Wyznaczmy a₉. Mamy:

$a_9=2\cdot 9-6=18-6=12$  

Wyznaczmy b₁₂. Mamy: 

$b_{12}=\frac{1}{4}\cdot 12+1=3+1=4$  

Wyznaczmy wartość wyrażenia 3a₉+b₁₂. Mamy:

$3a_9+b_{12}=3\cdot 12+4=36+4=40$  

---

b)

Dany jest ciąg (a_n) określony wzorem

$a_n=2^{\frac{n}{2}},n\in {\mathbb{N}}_{+}$  

oraz ciąg (b_n) określony wzorem

$b_n=\frac{n^2+6}{2n+1},n\in {\mathbb{N}}_{+}$  

Wyznaczmy a₉. Mamy:

$a_9=2^{\frac{9}{2}}={\left(2^9\right)}^{\frac{1}{2}}={512}^{\frac{1}{2}}=\sqrt{512}=\sqrt{256\cdot 2}=16\sqrt{2}$

Wyznaczmy b₁₂. Mamy:

$b_{12}=\frac{{12}^2+6}{2\cdot 12+1}=\frac{144+6}{24+1}=\frac{150}{25}=6$  

Wyznaczmy wartość wyrażenia 3a₉+b₁₂. Mamy:

$3a_9+b_{12}=3\cdot 16\sqrt{2}+6=48\sqrt{2}+6$  

---

c)

Dany jest ciąg (a_n) określony wzorem

$a_n={\left(-1\right)}^n\cdot \frac{n-6}{n},n\in {\mathbb{N}}_{+}$  

oraz ciąg (b_n) określony wzorem

$b_n={\left(-1\right)}^{n+1}\sqrt{4n+1},n\in {\mathbb{N}}_{+}$  

Wyznaczmy a₉. Mamy:

$a_9={\left(-1\right)}^9\cdot \frac{9-6}{9}=\left(-1\right)\cdot \frac{3}{9}=\left(-1\right)\cdot \frac{1}{3}=-\frac{1}{3}$  

Wyznaczmy b₁₂. Mamy:

$b_{12}={\left(-1\right)}^{12+1}\sqrt{4\cdot 12+1}={\left(-1\right)}^{13}\sqrt{48+1}=\left(-1\right)\cdot 7=-7$  

Wyznaczmy wartość wyrażenia 3a₉+b₁₂. Mamy:

$3a_9+b_{12}=3\cdot \left(-\frac{1}{3}\right)-7=-1-7=-8$  

---

d)

Dany jest ciąg (a_n) określony wzorem

$a_n={\log }_{3}n,n\in {\mathbb{N}}_{+}$  

oraz ciąg (b_n) określony wzorem

$b_n={\log }_4\left(5n+4\right),n\in {\mathbb{N}}_{+}$  

Wyznaczmy a₉. Mamy:

$a_9={\log }_{3}9=2,\text{bo}{3}^2=9$  

Wyznaczmy b₁₂. Mamy:

$b_{12}={\log }_4\left(5\cdot 12+4\right)={\log }_{4}64=3,\text{bo}{4}^3=64$  

Wyznaczmy wartość wyrażenia 3a₉+b₁₂. Mamy:

$3a_9+b_{12}=3\cdot 2+3=6+3=9$