Dany jest trójkąt ABC przedstawiony na rysunku poniżej:

---

a)

O tym trójkącie wiemy, że a=40 oraz 𝛼=30^o.

• Wyznaczmy miarę kąta 𝛽. Mamy:

$\beta ={180}^{\circ }-{90}^{\circ }-{30}^{\circ }=\underline{\underline{{60}^{\circ }}}$  

• Korzystając z definicji sinusa kąta ostrego mamy: 

$\sin {30}^o=\frac{40}{c}$  

$\frac{1}{2}=\frac{40}{c}\mid \cdot c$  

$\frac{1}{2}\cdot c=40\mid \cdot 2$  

$\underline{\underline{c=80}}$

• Korzystając z definicji cosinusa kąta ostrego mamy: 

$\cos {30}^o=\frac{b}{80}$  

$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{b}{80}\mid \cdot 80$  

$\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 80=b$  

$\underline{\underline{b=40\sqrt{3}}}$  

---

b)

O tym trójkącie wiemy, że b=6 oraz 𝛼=60^o.

• Wyznaczmy miarę kąta 𝛽. Mamy:

$\beta ={180}^{\circ }-{90}^{\circ }-{60}^{\circ }=\underline{\underline{{30}^{\circ }}}$  

• Korzystając z definicji cosinusa kąta ostrego mamy: 

$\cos {60}^o=\frac{6}{c}$  

$\frac{1}{2}=\frac{6}{c}$  

$\underline{\underline{c=12}}$  

• Korzystając z definicji sinusa kąta ostrego mamy:

$\sin {60}^o=\frac{a}{12}$  

$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a}{12}\mid \cdot 12$  

$\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 12=a$  

$\underline{\underline{a=6\sqrt{3}}}$  

---

c)

O tym trójkącie wiemy, że a=√2-1 oraz b=√6-√3.

• Wyznaczmy długość boku c. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa mamy:

${\left(\sqrt{2}-1\right)}^2+{\left(\sqrt{6}-\sqrt{3}\right)}^2=c^2$  

${\left(\sqrt{2}-1\right)}^2+{\left[\sqrt{3}\left(\sqrt{2}-1\right)\right]}^2=c^2$

${\left(\sqrt{2}-1\right)}^2+3{\left(\sqrt{2}-1\right)}^2=c^2$   

$4{\left(\sqrt{2}-1\right)}^2=c^2\wedge c>0$

$\underline{\underline{c=2\left(\sqrt{2}-1\right)}}$   

• Korzystając z definicji sinusa kąta ostrego mamy:

$\sin \alpha =\frac{\sqrt{2}-1}{2\left(\sqrt{2}-1\right)}=\frac{1}{2}$  

czyli

$\underline{\underline{\alpha ={30}^o}}$  

• Wyznaczmy miarę kąta 𝛽. Mamy:

$\beta ={180}^{\circ }-{90}^{\circ }-{30}^{\circ }=\underline{\underline{{60}^{\circ }}}$