a)

Rysunek:

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa mamy: 

$5^2+{12}^2=c^2$  

$25+144=c^2$  

$c^2=169\wedge c>0$  

$c=13$  

Wyznaczmy wartości funkcji trygonometrycznych kątów ostrych tego trójkąta. Mamy:

$\sin \alpha =\frac{5}{13}$  

$\cos \alpha =\frac{12}{13}$  

$\text{tg}\alpha =\frac{5}{12}$  

$\sin \beta =\frac{12}{13}$  

$\cos \beta =\frac{5}{13}$  

$\text{tg}\beta =\frac{12}{5}$  

---

b)

Rysunek:

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa mamy:

${\left(\sqrt{2}\right)}^2+{\left(\sqrt{6}\right)}^2=c^2$  

$2+6=c^2$

$c^2=8\wedge c>0$  

$c=\sqrt{8}$  

Wyznaczmy wartości funkcji trygonometrycznych kątów ostrych tego trójkąta. Mamy:

$\sin \alpha =\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{8}}=\sqrt{\frac{2}{8}}=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$  

$\cos \alpha =\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{8}}=\sqrt{\frac{6}{8}}=\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$  

$\text{tg}\alpha =\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}=\sqrt{\frac{2}{6}}=\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$  

$\sin \beta =\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{8}}=\sqrt{\frac{6}{8}}=\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$  

$\cos \beta =\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{8}}=\sqrt{\frac{2}{8}}=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$  

$\text{tg}\beta =\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=\sqrt{3}$  

---

c)

Rysunek:

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa mamy:

$2^2+{\left(\sqrt{6}\right)}^2=c^2$  

$4+6=c^2$  

$c^2=10\wedge x>0$  

$c=\sqrt{10}$  

Wyznaczmy wartości funkcji trygonometrycznych kątów ostrych tego trójkąta. Mamy:

$\sin \alpha =\frac{2}{\sqrt{10}}=\frac{2\sqrt{10}}{10}=\frac{\sqrt{10}}{5}$  

$\cos \alpha =\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{10}}=\sqrt{\frac{6}{10}}=\sqrt{\frac{3}{5}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{15}}{5}$  

$\text{tg}\alpha =\frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{2\sqrt{6}}{6}=\frac{\sqrt{6}}{3}$  

$\sin \beta =\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{10}}=\sqrt{\frac{6}{10}}=\sqrt{\frac{3}{5}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{15}}{5}$  

$\cos \beta =\frac{2}{\sqrt{10}}=\frac{2\sqrt{10}}{10}=\frac{\sqrt{10}}{5}$  

$\text{tg}\beta =\frac{\sqrt{6}}{2}$  

---

d)

Rysunek:

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa mamy:

${\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)}^2+{\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)}^2=c^2$  

$6+2\sqrt{12}+2+6-2\sqrt{12}+2=c^2$  

$c^2=16\wedge c>0$  

$c=4$  

Wyznaczmy wartości funkcji trygonometrycznych kątów ostrych tego trójkąta. Mamy:

$\sin \alpha =\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$  

$\cos \alpha =\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$  

$\text{tg}\alpha =\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}=\frac{{\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)}^2}{{\sqrt{6}}^2-{\sqrt{2}}^2}=\frac{6-2\sqrt{12}+2}{6-2}=\frac{8-4\sqrt{3}}{4}=2-\sqrt{3}$  

$\sin \beta =\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$  

$\cos \beta =\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$  

$\text{tg}\beta =\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}=\frac{{\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)}^2}{{\sqrt{6}}^2-{\sqrt{2}}^2}=\frac{6+2\sqrt{12}+2}{6-2}=\frac{8+4\sqrt{3}}{4}=2+\sqrt{3}$