a)

Zakładamy, że liczby a, b są dowolnymi liczbami rzeczywistymi takimi, że a⩾0 i b⩾0. 

Przekształcamy nierówność równoważnie i mamy:

$a+4b\ge 4\sqrt{ab}$  

$a-4\sqrt{ab}+4b\ge 0$  

${\left(\sqrt{a}\right)}^2-2\sqrt{a}\cdot 2\sqrt{b}+\left(2\sqrt{b}\right)\ge 0$

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy mamy:

${\left(\sqrt{a}-2\sqrt{b}\right)}^2\ge 0$  

Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny, a więc ostatnia nierówność zachodzi dla dowolnych a, b∈R, takich, że a⩾0 i b⩾0 zatem również nierówność

$a+4b\ge 4\sqrt{ab}$  

zachodzi dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b takich że a⩾0 i b⩾0.

---

b)

Zakładamy, że liczby a, b są dowolnymi liczbami rzeczywistymi takimi, że a⩾0 i b⩾0. 

Przekształcamy nierówność równoważnie i mamy:

$a+\frac{b}{2}\ge \sqrt{2ab}$  

$a-\sqrt{2ab}+\frac{b}{2}\ge 0$  

${\left(\sqrt{a}\right)}^2-2\cdot \sqrt{a}\cdot \frac{\sqrt{2b}}{2}+{\left(\frac{\sqrt{2b}}{2}\right)}^2\ge 0$  

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy mamy:

${\left(\sqrt{a}-\frac{\sqrt{2b}}{2}\right)}^2\ge 0$  

Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny, a więc ostatnia nierówność zachodzi dla dowolnych a, b∈R, takich, że a⩾0 i b⩾0 zatem również nierówność

$a+\frac{b}{2}\ge \sqrt{2ab}$  

zachodzi dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b takich że a⩾0 i b⩾0.

---

c)

Zakładamy, że liczby a, b są dowolnymi liczbami rzeczywistymi takimi, że a⩾0 i b⩾0. 

Przekształcamy nierówność równoważnie i mamy:

$\sqrt{a}\left(\frac{1}{2}\sqrt{b}-\sqrt{a}\right)\le \frac{b}{16}$    

$\frac{1}{2}\sqrt{a}\sqrt{b}-a\le \frac{b}{16}\mid \cdot 4$  

$2\sqrt{a}\sqrt{b}-4a\le \frac{b}{4}$  

$-4a+2\sqrt{a}\sqrt{b}-\frac{b}{4}\le 0\mid \cdot \left(-1\right)$  

$4a-2\sqrt{a}\sqrt{b}+\frac{b}{4}\ge 0$  

${\left(2\sqrt{a}\right)}^2-2\cdot 2\sqrt{a}\cdot \frac{\sqrt{b}}{2}+{\left(\frac{\sqrt{b}}{2}\right)}^2\ge 0$  

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy mamy:

${\left(2\sqrt{a}-\frac{\sqrt{b}}{2}\right)}^2\ge 0$  

Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny, a więc ostatnia nierówność zachodzi dla dowolnych a, b∈R, takich, że a⩾0 i b⩾0 zatem również nierówność

$\sqrt{a}\left(\frac{1}{2}\sqrt{b}-\sqrt{a}\right)\le \frac{b}{16}$  

zachodzi dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b takich że a⩾0 i b⩾0.