Wzór Bernoulliego W schemacie n prób Bernoulliego prawdopodobieństwo otrzymania k sukcesów wyraża się wzorem $P_n\left(k\right)=\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)p^k{q}^{n-k}\text{dla}k=0,1,\dots ,n$   gdzie p oznacza prawdopodobieństwo sukcesu, a q - prawdopodobieństwo porażki w pojedynczej próbie (q=1-p).

---

a)

Czterokrotny rzut monetą to schemat Bernoulliego, w którym prawdopodobieństwo sukcesu (czyli wyrzucenie orła) w pojedynczej próbie wynosi p=¹/₂, a prawdopodobieństwo porażki jest równe q=¹/₂.  

Korzystając ze wzoru Bernoulliego, wyznaczmy prawdopodobieństwo otrzymania trzech orłów w czterokrotnym rzucie monetą. Mamy: 

$P_4\left(3\right)=\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^3\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^1=\frac{4!}{3!\cdot 1!}\cdot \frac{1}{8}\cdot \frac{1}{2}=\frac{3!\cdot 4}{3!}\cdot \frac{1}{16}=4\cdot \frac{1}{16}=\frac{1}{4}$  

Odp. Prawdopodobieństwo otrzymania trzech orłów w czterokrotnym rzucie monetą wynosi ¹/₄. 

---

b)

Sześciokrotny rzut monetą to schemat Bernoulliego, w którym prawdopodobieństwo sukcesu (czyli wyrzucenie orła) w pojedynczej próbie wynosi p=¹/₂, a prawdopodobieństwo porażki jest równe q=¹/₂. 

Korzystając ze wzoru Bernoulliego, wyznaczmy prawdopodobieństwo otrzymania trzech orłów w sześciokrotnym rzucie monetą. Mamy: 

$P_6\left(3\right)=\left(\begin{array}{c}6\\ 3\end{array}\right)\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^3\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^3=\frac{6!}{3!\cdot 3!}\cdot \frac{1}{8}\cdot \frac{1}{8}=\frac{3!\cdot 4\cdot 5\cdot 6}{3!\cdot 3!}\cdot \frac{1}{64}=$  

$=\frac{4\cdot 5\cdot 6}{6}\cdot \frac{1}{64}=\frac{120}{6}\cdot \frac{1}{64}=\frac{5}{16}$  

Odp. Prawdopodobieństwo otrzymania trzech orłów w sześciokrotnym rzucie monetą wynosi ⁵/₁₆.