Dany jest trójkąt równoramienny ABC, gdzie A=(0, -2). 

Podstawa BC tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu x+y=6 i ma długość 4√2. 

---

a)

Prosta zawierająca wysokość tego trójkąta opuszczoną z wierzchołka A jest prostopadła do prostej BC, więc jest postaci

$y=x+b$

Do tej prostej należy punkt A będący punktem przecięcia tej prostej z osią OY układu współrzędnych, czyli b=-2, więc

$y=x-2$   

Wyznaczmy współrzędne środka S_BC podstawy BC tego trójkąta będącego przecięciem prostych o równaniach x+y=6 oraz y=x-2. Mamy więc:

$\{\begin{array}{l}x+y=6\\ y=x-2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x+x-2=6\\ y=x-2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}2x=8\mid :2\\ y=x-2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=4\\ y=4-2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=4\\ y=2\end{array}$  

więc

$\underline{S_{BC}=\left(4,2\right)}$  

---

Podstawa BC tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu x+y=6, więc punkty A i B mają współrzędne postaci (x, -x+6). 

Długości odcinków BS_BC oraz CS_BC są równe połowie długości podstawy, czyli 2√2, więc

$\sqrt{{\left(x-4\right)}^2+{\left(-x+6-2\right)}^2}=2\sqrt{2}{\mid }^2$  

${\left(x-4\right)}^2+{\left(4-x\right)}^2=8$

${\left(x-4\right)}^2+{\left(x-4\right)}^2=8$   

$2{\left(x-4\right)}^2=8\mid :2$

${\left(x-4\right)}^2=4$

$\left|x-4\right|=2$

$x-4=2\vee x-4=-2$

$x=6x=2$

Dla x=6 mamy y=0, a dla x=2 mamy y=4.

Zatem

$\underline{\underline{B=\left(6,0\right),C=\left(2,4\right)\text{lub}B=\left(2,4\right),C=\left(6,0\right)}}$       

---

---

b)

Możemy przyjąć, że B=(6, 0) oraz C=(2, 4). 

Wyznaczmy współczynnik kierunkowy prostej AB. Mamy:

$a_{AB}=\frac{0+2}{6-0}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$

Wyznaczmy współrzędne środka boku AB tego trójkąta. Mamy:

$S_{AB}=\left(\frac{0+6}{2},\frac{-2+0}{2}\right)=\left(3,-1\right)$  

Symetralna boku AB jest prostopadła do tego boku, więc jej równanie jest postaci y=-3x+b. Do tej prostej należy punkt S_AB, więc

$-1=-3\cdot 3+b\Rightarrow b=8$

czyli

$y=-3x+8$

Ponieważ ten trójkąt jest równoramienny, to symetralna boku BC jest również prostą zawierającą wysokość opuszczoną z wierzchołka A, więc z podpunktu a) wiemy, że opisana jest równaniem y=x-2. 

---

Dany jest okrąg opisany na trójkącie ABC. Środek S tego okręgu leży na przecięciu symetralnych, więc   

$\{\begin{array}{l}y=x-2\\ y=-3x+8\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-3x+8=x-2\\ y=-3x+8\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-4x=-10\mid :\left(-4\right)\\ y=-3x+8\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=\frac{5}{2}\\ y=-3\cdot \frac{5}{2}+8\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=\frac{5}{2}\\ y=\frac{1}{2}\end{array}$  

czyli

$\underline{S=\left(\frac{5}{2},\frac{1}{2}\right)}$

Wyznaczmy długość promienia r tego okręgu. Mamy:

$r=\left|AS\right|=\sqrt{{\left(\frac{5}{2}-0\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}+2\right)}^2}=\sqrt{{\left(\frac{5}{2}\right)}^2+{\left(\frac{5}{2}\right)}^2}=\sqrt{\frac{25}{4}+\frac{25}{4}}=\sqrt{\frac{25}{2}}$   

Zapiszmy równanie tego okręgu. Mamy:

$\underline{\underline{{\left(x-\frac{5}{2}\right)}^2+{\left(y-\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{25}{2}}}$