a)

Rozwiążmy równanie:

$4\cos 5x\sin 2x+2\sin 3x=\sqrt{2}$  

$4\sin 2x\cos 5x+2\sin 3x=\sqrt{2}$  

Korzystając ze wzoru na iloczyn sinusa i cosinusa otrzymujemy:  

$4\cdot \frac{1}{2}\left[\sin \left(2x+5x\right)+\sin \left(2x-5x\right)\right]+2\sin 3x=\sqrt{2}$

$2\left[\sin 7x+\sin \left(-3x\right)\right]+2\sin 3x=\sqrt{2}$

Korzystając z własności sin(-𝛼)=sin𝛼 mamy:  

$2\left[\sin 7x-\sin 3x\right]+2\sin 3x=\sqrt{2}$  

$2\sin 7x-2\sin 3x+2\sin 3x=\sqrt{2}$

$2\sin 7x=\sqrt{2}\mid :2$

$\sin 7x=\frac{\sqrt{2}}{2}$

czyli

$7x=\frac{\pi }{4}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}\left|:7\vee 7x=\frac{3}{4}\pi +2k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right|:7$   

$x=\frac{\pi }{28}+\frac{2}{7}k\pi ,k\in \mathbb{Z}x=\frac{3}{28}\pi +\frac{2}{7}k\pi ,k\in \mathbb{Z}$   

$x=\frac{\pi }{28}+\frac{8}{28}k\pi ,k\in \mathbb{Z}x=\frac{3}{28}\pi +\frac{8}{28}k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

Wypiszmy pierwiastki tego równania należące do przedziału  ⟨-^𝜋/₂, ^𝜋/₂⟩. Mamy:

$\underline{\underline{x\in \left\{-\frac{13}{28}\pi ,-\frac{1}{4}\pi ,-\frac{5}{28}\pi ,\frac{1}{28}\pi ,\frac{3}{28}\pi ,\frac{9}{28}\pi ,\frac{11}{28}\pi \right\}}}$  

---

b)

Rozwiążmy równanie:

$2\sin 3x+4\sin x\cos 4x=1$  

Korzystając ze wzoru na iloczyn sinusa i cosinusa otrzymujemy:

$2\sin 3x+4\cdot \frac{1}{2}\left[\sin \left(x+4x\right)+\sin \left(x-4x\right)\right]=1$

$2\sin 3x+2\left[\sin 5x+\sin \left(-3x\right)\right]=1$   

Korzystając z własności sin(-𝛼)=sin𝛼 mamy:  

$2\sin 3x+2\left[\sin 5x-\sin 3x\right]=1$

$2\sin 3x+2\sin 5x-2\sin 3x=1$

$2\sin 5x=1\mid :2$

$\sin 5x=\frac{1}{2}$

czyli

$5x=\frac{\pi }{6}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}\left|:5\vee 5x=\frac{5}{6}\pi +2k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right|:5$   

$x=\frac{\pi }{30}+\frac{2}{5}k\pi ,k\in \mathbb{Z}x=\frac{5}{30}\pi +\frac{2}{5}k\pi ,k\in \mathbb{Z}$    

$x=\frac{\pi }{30}+\frac{12}{30}k\pi ,k\in \mathbb{Z}x=\frac{5}{30}\pi +\frac{12}{30}k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

Wypiszmy pierwiastki tego równania należące do przedziału  ⟨-^𝜋/₂, ^𝜋/₂⟩. Mamy:

$\underline{\underline{x\in \left\{-\frac{11}{30}\pi ,-\frac{7}{30}\pi ,\frac{1}{30}\pi ,\frac{1}{6}\pi ,\frac{13}{30}\pi \right\}}}$  

---

c)

Rozwiążmy równanie:

$4\cos 6x\cos 2x-1=2\cos 8x$  

Korzystając ze wzoru na iloczyn cosinusów otrzymujemy: 

$4\cdot \frac{1}{2}\left[\cos \left(6x+2x\right)+\cos \left(6x-2x\right)\right]-1=2\cos 8x$

$2\left[\cos 8x+\cos 4x\right]-1=2\cos 8x$

$2\cos 8x+2\cos 4x-1=2\cos 8x$

$2\cos 4x-1=0$

$2\cos 4x=1\mid :2$

$\cos 4x=\frac{1}{2}$

czyli

$4x=\frac{\pi }{3}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}\left|:4\vee 4x=-\frac{\pi }{3}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right|:4$   

$x=\frac{\pi }{12}+\frac{1}{2}k\pi ,k\in \mathbb{Z}x=-\frac{\pi }{12}+\frac{1}{2}k\pi ,k\in \mathbb{Z}$      

$x=\frac{\pi }{12}+\frac{6}{12}k\pi ,k\in \mathbb{Z}x=-\frac{\pi }{12}+\frac{6}{12}k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

Wypiszmy pierwiastki tego równania należące do przedziału  ⟨-^𝜋/₂, ^𝜋/₂⟩. Mamy:

$\underline{\underline{x\in \left\{-\frac{5}{12}\pi ,-\frac{\pi }{12},\frac{\pi }{12},\frac{5}{12}\pi \right\}}}$  

---

d)

Rozwiążmy równanie:

$\sin 3x\cos x+\frac{1}{2}=\sin x\cos x$

Korzystając ze wzoru na iloczyn sinusa i cosinusa otrzymujemy:

$\frac{1}{2}\left[\sin \left(3x+x\right)+\sin \left(3x-x\right)\right]+\frac{1}{2}=\sin x\cos x$

$\frac{1}{2}\left[\sin 4x+\sin 2x\right]+\frac{1}{2}=\sin x\cos x\mid \cdot 2$

$\sin 4x+\sin 2x+1=2\sin x\cos x$

Korzystając ze wzoru na sinus podwojonego kąta mamy:    

$\sin 4x+\sin 2x+1=\sin 2x$

$\sin 4x+1=0$

$\sin 4x=-1$

czyli

$4x=\frac{3}{2}\pi +2k\pi ,k\in \mathbb{Z}\mid :4$

$x=\frac{3}{8}\pi +\frac{1}{2}k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

$x=\frac{3}{8}\pi +\frac{4}{8}k\pi ,k\in \mathbb{Z}$       

Wypiszmy pierwiastki tego równania należące do przedziału  ⟨-^𝜋/₂, ^𝜋/₂⟩. Mamy:

$\underline{\underline{x\in \left\{-\frac{\pi }{8},\frac{3}{8}\pi \right\}}}$