Przeczytaj zamieszczony w ramce przykład...- Zadanie 34: MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

Dana jest funkcja f określona wzorem:

$f (x) = - \frac{2 x}{x - 2}$

Wykażemy, że funkcja f jest rosnąca w przedziale (2, ∞).

Zakładamy, że x₁<x₂ oraz x₁, x₂∈(2, ∞). Wówczas:

$f (x_{2}) - f (x_{1}) = - \frac{2 x _{2}}{x _{2} - 2} - (- \frac{2 x _{1}}{x _{1} - 2}) = - \frac{2 x _{2} ( x _{1} - 2 )}{( x _{1} - 2 ) ( x _{2} - 2 )} + \frac{2 x _{1} ( x _{2} - 2 )}{( x _{1} - 2 ) ( x _{2} - 2 )} =$

$= \frac{- 2 x _{1} x _{2} + 4 x _{2}}{( x _{1} - 2 ) ( x _{2} - 2 )} + \frac{2 x _{1} x _{2} - 4 x _{1}}{( x _{1} - 2 ) ( x _{2} - 2 )} = \frac{4 x _{2} - 4 x _{1}}{( x _{1} - 2 ) ( x _{2} - 2 )} = \frac{4 ( x _{2} - x _{1} )}{( x _{1} - 2 ) ( x _{2} - 2 )}$

Zauważmy, że

$x_{2} - x_{1} > 0, bo x_{1} < x_{2}$
$x_{1} - 2 > 0, bo x_{1} \in (2, \infty)$
$x_{2} - 2 > 0, bo x_{2} \in (2, \infty)$

A stąd otrzymujemy:

$f (x_{2}) - f (x_{1}) > 0$

Zatem funkcja f jest funkcją rosnącą w przedziale (2, ∞).

Dana jest funkcja f określona wzorem:

$f (x) = \frac{x + 5}{x + 1}$

Wykażemy, że funkcja f jest malejąca w przedziale (-1, ∞).

Zakładamy, że x₁<x₂ oraz x₁, x₂∈(-1, ∞). Wówczas:

$f (x_{2}) - f (x_{1}) = \frac{x _{2} + 5}{x _{2} + 1} - \frac{x _{1} + 5}{x _{1} + 1} = \frac{( x _{2} + 5 ) ( x _{1} + 1 )}{( x _{1} + 1 ) ( x _{2} + 1 )} - \frac{( x _{1} + 5 ) ( x _{2} + 1 )}{( x _{1} + 1 ) ( x _{2} + 1 )} =$

$= \frac{x _{1} x _{2} + x _{2} + 5 x _{1} + 5}{( x _{1} + 1 ) ( x _{2} + 1 )} - \frac{x _{1} x _{2} + x _{1} + 5 x _{2} + 5}{( x _{1} + 1 ) ( x _{2} + 1 )} = \frac{4 x _{1} - 4 x _{2}}{( x _{1} + 1 ) ( x _{2} + 1 )} = \frac{4 ( x _{1} - x _{2} )}{( x _{1} + 1 ) ( x _{2} + 1 )}$