Liczba przekątnych w wielokącie wypukłym o n bokach (n⩾3) opisana jest wzorem $\frac{n\left(n-3\right)}{2}$

---

a)

Dany jest wielokąt o n bokach (czyli o n wierzchołkach), który ma 90 przekątnych.

Korzystając ze wzoru na liczbę przekątnych otrzymujemy równanie: 

$\frac{n\left(n-3\right)}{2}=90\mid \cdot 2$  

$n\left(n-3\right)=180$

$n^2-3n=180$

$n^2-3n-180=0$

$\Delta ={\left(-3\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-180\right)=9+720=729$

$\sqrt{\Delta }=27$

$n_1=\frac{3-27}{2\cdot 1}=\frac{-24}{2}=\underset{\text{sprzecznosˊcˊ}}{\underbrace{-12}}$        

$n_2=\frac{3+27}{2\cdot 1}=\frac{30}{2}=15$

Odp. Podany wielokąt ma 15 wierzchołków.  

---

b)

Dany jest wielokąt o n bokach (czyli o n wierzchołkach), który ma 135 przekątnych.

Korzystając ze wzoru na liczbę przekątnych otrzymujemy równanie: 

$\frac{n\left(n-3\right)}{2}=135\mid \cdot 2$  

$n\left(n-3\right)=270$

$n^2-3n=270$

$n^2-3n-270=0$

$\Delta ={\left(-3\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-270\right)=9+1080=1089$

$\sqrt{\Delta }=33$

$n_1=\frac{3-33}{2\cdot 1}=\frac{-30}{2}=\underset{\text{sprzecznosˊcˊ}}{\underbrace{-15}}$        

$n_2=\frac{3+33}{2\cdot 1}=\frac{36}{2}=18$

Odp. Podany wielokąt ma 18 wierzchołków.  

---

c)

Dany jest wielokąt o n bokach (czyli o n wierzchołkach), który ma 189 przekątnych.

Korzystając ze wzoru na liczbę przekątnych otrzymujemy równanie: 

$\frac{n\left(n-3\right)}{2}=189\mid \cdot 2$  

$n\left(n-3\right)=378$

$n^2-3n=378$

$n^2-3n-378=0$

$\Delta ={\left(-3\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-378\right)=9+1512=1521$

$\sqrt{\Delta }=39$

$n_1=\frac{3-39}{2\cdot 1}=\frac{-36}{2}=\underset{\text{sprzecznosˊcˊ}}{\underbrace{-18}}$        

$n_2=\frac{3+39}{2\cdot 1}=\frac{42}{2}=21$

Odp. Podany wielokąt ma 21 wierzchołków.