a)

Rozwiążemy nierówność:

$\left|4\right|x\left|-2\right|\le 6$  

Przypadek I.

Rozważmy x⩾0.

$\left|4x-2\right|\le 6$  

Korzystając z własności wartości bezwzględnej mamy:

$4x-2\le 6\wedge 4x-2\ge -6$

$4x\le 8\wedge 4x\ge -4$

$x\le 2\wedge x\ge -1$    

czyli

$x\in ⟨-1,2⟩\wedge x\ge 0$   

$\underline{x\in ⟨0,2⟩}$   

Przypadek II.

Rozważmy x<0.

$\left|-4x-2\right|\le 6$  

Korzystając z własności wartości bezwzględnej mamy:

$-4x-2\le 6\wedge -4x-2\ge -6$

$-4x\le 8\wedge -4x\ge -4$

$x\ge -2\wedge x\le 1$

czyli

$x\in ⟨-2,1⟩\wedge x<0$  

$\underline{x\in ⟨-2,0)}$   

Zapiszmy zbiór rozwiązań tej nierówności:

$\underline{\underline{x\in ⟨-2,2⟩}}$  

---

b)

Rozwiążemy nierówność:

$\left|\left|x\right|-1\right|>3$  

Przypadek I.

Rozważmy x⩾0.

$\left|x-1\right|>3$   

Korzystając z własności wartości bezwzględnej mamy:

$x-1>3\vee x-1<-3$

$x>4x<-2$   

czyli

$x\in \left(-\infty ,-2\right)\cup \left(4,\infty \right)\wedge x\ge 0$  

$\underline{x\in \left(4,+\infty \right)}$   

Przypadek II.

Rozważmy x<0.

$\left|-x-1\right|>3$  

$\left|x+1\right|>3$  

Korzystając z własności wartości bezwzględnej mamy:

$x+1>3\vee x+1<-3$  

$x>2x<-4$  

czyli

$x\in \left(-\infty ,-4\right)\cup \left(2,\infty \right)\wedge x<0$  

$\underline{x\in \left(-\infty ,-4\right)}$   

Zapiszmy zbiór rozwiązań tej nierówności:

$\underline{\underline{x\in \left(-\infty ,-4\right)\cup \left(4,\infty \right)}}$  

---

c)

Rozwiążemy nierówność:

$\left|\left|1-2x\right|-1\right|<4$  

Korzystając z własności |a|=|-a| wartości bezwzględnej dla wyrażenia |1-2x| mamy:

$\Vert 2x-1\left|-1\right|<4$

Przypadek I.

Rozważmy x⩾¹/₂.

$\left|2x-1-1\right|<4$

$\left|2x-2\right|<4$  

$\left|2\left(x-1\right)\right|<4$

$2\left|x-1\right|<4\mid :2$  

$\left|x-1\right|<2$  

Korzystając z własności wartości bezwzględnej mamy:

$x-1<2\wedge x-1>-2$

$x<3x>-1$   

czyli

$x\in \left(-1,3\right)\wedge x\ge \frac{1}{2}$  

$\underline{x\in ⟨\frac{1}{2},3)}$  

Przypadek II.

Rozważmy x<¹/₂.

$\left|-2x+1-1\right|<4$

$\left|-2x\right|<4$  

$2\left|x\right|<4\mid :2$  

$\left|x\right|<2$  

Korzystając z własności wartości bezwzględnej mamy:

$x<2\wedge x>-2$  

czyli

$x\in \left(-2,2\right)\wedge x<\frac{1}{2}$  

$\underline{x\in \left(-2,\frac{1}{2}\right)}$  

Zapiszmy zbiór rozwiązań tej nierówności:

$\underline{\underline{x\in \left(-2,3\right)}}$