a)

Rysunek: 

Wiemy, że

$\left|A{C}_1\right|=2\cdot 2=4\left[\text{cm}\right]$

Odcinek AC₁ jest przekątną sześcianu o krawędzi długości a. Korzystając ze wzoru na długość przekątnej sześcianu mamy:

$a\sqrt{3}=4\mid :\sqrt{3}$   

$a=\frac{4\sqrt{3}}{3}\left[\text{cm}\right]$  

Obliczmy objętość tego sześcianu. Mamy:

$V={\left(\frac{4\sqrt{3}}{3}\right)}^3=\frac{64\cdot 3\sqrt{3}}{27}=\underline{\underline{\frac{64}{9}\sqrt{3}\left[{\text{cm}}^3\right]}}$  

---

b) 

Dany jest sześcian o krawędzi długości a, którego pole powierzchni całkowitej wynosi 864 cm². Mamy stąd:

$6a^2=864\mid :6$

$a^2=144\wedge a>0$

$a=12\left[\text{cm}\right]$    

Na tym sześcianie opisano kulę o promieniu długości R. 

Rysunek:

Odcinek AC₁ jest przekątną tego sześcianu. Korzystając ze wzoru na długość przekątnej sześcianu mamy:

$2R=12\sqrt{3}\mid :2$

$R=6\sqrt{3}\left[\text{cm}\right]$

Wyznaczmy objętość tej kuli. Mamy:

$V=\frac{4}{3}\pi \cdot {\left(6\sqrt{3}\right)}^3=\frac{4}{3}\pi \cdot 216\cdot 3\sqrt{3}=\underline{\underline{864\sqrt{3}\pi \left[{\text{cm}}^3\right]}}$