a)

Rysunek: 

Wiemy, że pole powierzchni podstawy tego graniastosłupa jest równe 32 cm² otrzymujemy:

$a^2=32\wedge a>0$

$a=4\sqrt{2}\left[\text{cm}\right]$

Odcinek AC jest przekątną kwadratu, czyli

$x=4\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=8\left[\text{cm}\right]$

Rozpatrzmy prostokąt ACC₁A₁ będący przekrojem tego graniastosłupa przechodzącym przez przekątne AC i A₁C₁ podstawy graniastosłupa.

Rysunek: 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ACC₁ mamy:

${\left(2R\right)}^2=8^2+{10}^2$

$4R^2=164\mid :4$

$R^2=41\wedge R>0$

$R=\sqrt{41}\left[\text{cm}\right]$     

Wyznaczmy objętość tej kuli. Mamy:

$V=\frac{4}{3}\pi \cdot {\left(\sqrt{41}\right)}^2=\frac{4}{3}\pi \cdot 41\sqrt{41}=\underline{\underline{\frac{164\sqrt{41}}{3}\pi \left[{\text{cm}}^3\right]}}$  

---

b)

Dana jest kula o promieniu długości R i polu powierzchni 12𝜋 cm². Mamy stąd:

$4\pi R^2=12\pi \mid :4\pi$

$R^2=3\wedge R>0$

$R=\sqrt{3}\left[\text{cm}\right]$    

W podaną kulę wpisano sześcian o boku długości a. 

Długość przekątnej sześcianu jest równa podwojonej długości promienia tej kuli. Mamy stąd:

$a\sqrt{3}=2\sqrt{3}\mid :\sqrt{3}$

$a=2\left[\text{cm}\right]$   

Wyznaczmy objętość tego sześcianu. Mamy:

$V=2^3=\underline{\underline{8\left[{\text{cm}}^3\right]}}$