Kulę o promieniu długości R można wpisać w pewien graniastosłup prawidłowy trójkątny i w pewien graniastosłup prawidłowy czworokątny. 

Rysunki: 

oraz

Długość promienia R kuli jest równa długości promienia okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny ABC. Korzystając ze wzoru na długość wysokości trójkąta równobocznego mamy: 

$R==\frac{1}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{6}$  

$R=\frac{a\sqrt{3}}{6}\mid \cdot 6$  

$6R=a\sqrt{3}\mid :\sqrt{3}$  

$a=\frac{6R}{\sqrt{3}}$  

$a=2\sqrt{3}R$  

Obliczmy objętość tego graniastosłupa prawidłowego trójkątnego. Mamy:

$V_1=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot 2R=\frac{{\left(2\sqrt{3}R\right)}^2\sqrt{3}}{4}\cdot 2R=\frac{12R^2\sqrt{3}}{4}\cdot 2R=6\sqrt{3}{R}^3$  

$V_1=\frac{12R^2\sqrt{3}}{4}\cdot 2R$  

$V_1=6\sqrt{3}{R}^3$  

Obliczmy objętość tego graniastosłupa prawidłowego czworokątnego. Mamy:

$V_2={\left(2R\right)}^2\cdot 2R=4R^2\cdot 2R=8R^3$  

Wyznaczmy stosunek objętości tych graniastosłupów. Mamy:

$\frac{V_1}{V_2}=\frac{6\sqrt{3}{R}^3}{8R^3}=\frac{6\sqrt{3}}{8}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$  

co kończy dowód.