Pole powierzchni całkowitej walca o promieniu podstawy r i wysokości długości h wyraża się wzorem: $P_c=2P_p+P_b=2\pi r^2+2\pi rh=2\pi r\left(r+h\right)$ gdzie Pp jest polem powierzchni podstawy walca, a Pb - polem jego powierzchni bocznej.

---

a)

Podstawą walca jest koło o promieniu długości r. Mamy zatem: 

$P_p=\pi r^2$  

Powierzchnią boczną walca jest prostokąt, którego jeden bok ma długość h, a drugi ma taką długość jak obwód podstawy, czyli obwód koła o promieniu długości r. Wyznaczmy pole powierzchni bocznej tego walca. Mamy:

$P_b=h\cdot 2\pi r=2\pi rh$  

Wyznaczmy pole powierzchni całkowitej tego walca. Mamy:

$P_c=2P_p+P_b=2\pi r^2+2\pi rh=\underline{\underline{2\pi r\left(r+h\right)}}$  

---

b)

Dany jest walec, którego podstawą jest koło o promieniu długości r i wysokości długości 10 cm. 

Wiemy, że pole powierzchni całkowitej tego walca jest równe 40𝜋 cm². Korzystając ze wzoru na pole powierzchni całkowitej walca mamy: 

$40\pi =2\pi r^2+2\pi r\cdot 10$  

$40\pi =2\pi r^2+20\pi r\mid :2\pi$  

$20=r^2+10r$  

$0=r^2+10r-20$  

$r^2+10r-20=0$  

$\Delta ={10}^2-4\cdot 1\cdot \left(-20\right)=100+80=180$  

$\sqrt{\Delta }=6\sqrt{5}$  

$r_1=\frac{-10-6\sqrt{5}}{2}<0$  

$r_2=\frac{-10+6\sqrt{5}}{2}=-5+3\sqrt{5}=3\sqrt{5}-5$  

Zatem ostatecznie

$r=3\sqrt{5}-5$  

Wyznaczmy pole koła będącego podstawą tego walca. Mamy: 

$P_p=\pi \cdot {\left(3\sqrt{5}-5\right)}^2=\pi \cdot \left({\left(3\sqrt{5}\right)}^2-2\cdot 3\sqrt{5}\cdot 5+5^2\right)=$  

$=\pi \cdot \left(70-30\sqrt{5}\right)=\underline{\underline{10\pi \left(7-3\sqrt{5}\right)\left[{\text{cm}}^2\right]}}$