Treść:

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny (a_n), określony dla każdej liczby naturalnej n≥1. Suma trzech początkowych wyrazów ciągu (a_n) jest równa 7, a suma S wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 8. 

Wyznacz wszystkie wartości n, dla których spełniona jest nierówność

$\left|\frac{S-S_n}{S_n}\right|<0,001$

gdzie S_n oznacza sumę n początkowych wyrazów ciągu (a_n).

Zapisz obliczenia.

---

Rozwiązanie:  

Dany jest ciąg geometryczny (a_n), n∈N₊, o pierwszym wyrazie a₁ i ilorazie q. 

Skoro suma wszystkich wyrazów ciągu (a_n) istnieje i jest różna od zera, więc a₁≠0 i iloraz q tego ciągu pełnia warunek |q|<1. 

Korzystając ze wzoru na sumę wszystkich wyrazów ciągu geometrycznego mamy: