Informacje do zadań 6.1. i 6.2.

Na obrzeżach miasta znajduje się jezioro, na którym postanowiono stworzyć tor regatowy. Na podstawie dostępnych map wymodelowano w pewnej skali kształt linii brzegowej jeziora w kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) za pomocą fragmentów wykresów funkcji f oraz g (zobacz rysunek). Funkcje f oraz g są określone wzorami:

$f\left(x\right)=x^2$

oraz

$g\left(x\right)=-\frac{1}{2}{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+4$   

Początek toru postanowiono zlokalizować na brzegu jeziora w miejscu, któremu odpowiada w układzie współrzędnych punkt P=(-1, 1).

Treść:

Koniec toru regatowego należy umieścić na linii brzegowej.

Oblicz współrzędne punktu K, w którym należy zlokalizować koniec toru, aby długość toru (tj. odległość końca K toru od początku P) była możliwie największa. Oblicz długość najdłuższego toru.

Zapisz obliczenia.

Wskazówka.
Przy rozwiązywaniu zadania możesz skorzystać z tego, że odległość dowolnego punktu R leżącego na wykresie funkcji g od punktu P wyraża się wzorem

$\left|PR\right|=\sqrt{\frac{1}{4}{x}^4-\frac{1}{2}{x}^3-\frac{13}{8}{x}^2+\frac{39}{8}x+\frac{593}{64}}$  

gdzie x jest pierwszą współrzędną punktu R.

---

Rozwiązanie:

Pokażemy najpierw, że optymalna lokalizacja końca toru regatowego musi znajdować się na linii brzegowej określonej przez funkcję g. 

Rysunek pomocniczy:

Niech A=(x_A, y_A) oraz B=(x_B, y_B) będą punktami przecięcia wykresów funkcji f i g.