Informacje do zadań 6.1. i 6.2.

Na obrzeżach miasta znajduje się jezioro, na którym postanowiono stworzyć tor regatowy. Na podstawie dostępnych map wymodelowano w pewnej skali kształt linii brzegowej jeziora w kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) za pomocą fragmentów wykresów funkcji f oraz g (zobacz rysunek). Funkcje f oraz g są określone wzorami:

$f\left(x\right)=x^2$

oraz

$g\left(x\right)=-\frac{1}{2}{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+4$   

Początek toru postanowiono zlokalizować na brzegu jeziora w miejscu, któremu odpowiada w układzie współrzędnych punkt P=(-1, 1).

Treść:

Niech R będzie punktem leżącym na wykresie funkcji g. 

Wykaż, że odległość punktu R od punktu P wyraża się wzorem:

$\left|PR\right|=\sqrt{\frac{1}{4}{x}^4-\frac{1}{2}{x}^3-\frac{13}{8}{x}^2+\frac{39}{8}x+\frac{593}{64}}$  

gdzie x jest pierwszą współrzędną punktu R. 

---

Rozwiązanie:

Punkt R leży na wykresie funkcji g, zatem:

$R=\left(x,-\frac{1}{2}{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+4\right)$  

 

Korzystając ze wzoru na długość odcinka, obliczmy długość odcinka PR: