Informacje do zadań 18.1. oraz 18.2.

Rozpatrujemy wszystkie takie prostopadłościany, w których suma długości wszystkich krawędzi jest równa 80, pole powierzchni całkowitej jest równe 256 i żadna z krawędzi bryły nie jest krótsza niż 4.

---

Treść:

Wykaż, że układ równań

$\{\begin{array}{l}4a+4b+4c=80\\ 2ab+2bc+2ca=256\end{array}$  

z niewiadomymi a oraz b ma rozwiązanie, które jest parą liczb rzeczywistych nie mniejszych od 4 wtedy i tylko wtedy, gdy c∈[4, ²⁸/₃].

---

Rozwiązanie:

Zakładamy, że podany układ równań ma rozwiązanie, które jest parą liczb rzeczywistych nie mniejszych od 4.  

Przekształcamy podany układ równań:

$\{\begin{array}{l}4a+4b+4c=80\mid :4\\ 2ab+2bc+2ca=256\mid :2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a+b+c=20\\ ab+bc+ca=128\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}b=20-a-c\\ a\left(20-a-c\right)+\left(20-a-c\right)c+ca=128\end{array}$