Treść:

Syzyf codziennie stoi przed zadaniem wtoczenia ciężkiej kamiennej kuli na szczyt pewnej góry. W chwili t=0 znajduje się on w punkcie O oddalonym od szczytu o 4 km, a położenie x Syzyfa wtaczającego kulę jest opisane równaniem

$x\left(t\right)=-t^3+16,5t^2+180t\text{dla}t\in \left[0,24\right]$

 gdzie x jest wyrażone w metrach, a t – w godzinach.

Oś Ox jest skierowana do wierzchołka góry i jest styczna w każdym punkcie do zbocza góry.

Oblicz najmniejszą odległość, na jaką Syzyf zbliży się do wierzchołka góry, oraz maksymalną prędkość, z jaką wtacza kamień pod górę.

---

Rozwiązanie:

Wyznaczmy najmniejszą odległość, na jaką Syzyf zbliży się do wierzchołka góry. 

Wyznaczmy pochodną funkcji x. Mamy:

$x{}^{\prime }\left(t\right)=-3t^2+33t+180,t\in \left[0,24\right]$  

Wyznaczamy miejsca zerowe pochodnej: