Treść:

Dany jest układ równań

$\{\begin{array}{l}mx+y=m^2\\ 4x+my=8\end{array}$  

z niewiadomymi x i y oraz parametrem m.

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których układ jest oznaczony, a para liczb (x, y) będąca rozwiązaniem układu spełnia warunek |x+y|<2.

---

Rozwiązanie:

Z pierwszego równania układu równań wyznaczamy y i mamy:

$y=m^2-mx$

Wyznaczony y podstawiamy do drugiego równania i otrzymujemy: 

$4x+m\left(m^2-mx\right)=8$

$4x+m^3-m^{2}x=8$

$4x-m^{2}x=8-m^3$

$\left(4-m^2\right)x=8-m^3$

Więc układ jest oznaczony wtedy, gdy m∈R\{-2, 2}.      

$\left(4-m^2\right)x=8-m^3\mid :\left(4-m^2\right)$

$x=\frac{8-m^3}{4-m^2}=\dots$   

Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia na różnicę sześcianów i różnicę kwadratów mamy:

$\dots =\frac{\left(2-m\right)\left(4+2m+m^2\right)}{\left(2-m\right)\left(2+m\right)}=\frac{4+2m+m^2}{2+m}$  

Korzystając z wyznaczonego x, wyznaczmy y:

$y=m^2-mx=m^2-m\cdot \frac{4+2m+m^2}{2+m}=\frac{m^3+2m^2}{m+2}-\frac{4m+2m^2+m^3}{m+2}=$  

$=\frac{m^3+2m^2-4m-2m^2-m^3}{m+2}=\frac{-4m}{m+2}$  

Rozwiązaniem tego układu równań dla m∈R\{-2, 2} jest para liczb:

$\{\begin{array}{l}x=\frac{4+2m+m^2}{2+m}\\ y=\frac{-4m}{m+2}\end{array}$  

 

Wyznaczmy wszystkie wartości parametru m, dla których spełniony jest warunek

$\left|x+y\right|<2$

Podstawiając wyznaczone wartości x i y mamy:

$\left|\frac{4+2m+m^2}{2+m}+\frac{-4m}{m+2}\right|<2$   

$\left|\frac{m^2-2m+4}{m+2}\right|<2$  

Korzystając z własności wartości bezwzględnej mamy:

$\frac{m^2-2m+4}{m+2}<2\wedge \frac{m^2-2m+4}{m+2}>-2$  

$\frac{m^2-2m+4}{m+2}-2<0\frac{m^2-2m+4}{m+2}+2>0$  

$\frac{m^2-2m+4}{m+2}-\frac{2m+4}{m+2}<0\frac{m^2-2m+4}{m+2}+\frac{2m+4}{m+2}>0$  

$\frac{m^2-4m}{m+2}<0\frac{m^2+8}{m+2}>0$  

$\left(m^2-4m\right)\left(m+2\right)<0\left(m^2+8\right)\left(m+2\right)>0$  

Uwzględniając m∈R\{-2, 2} mamy:

$m\in \left(-\infty ,-2\right)\cup \left(0,2\right)\cup \left(2,4\right)m\in \left(-2,2\right)\cup \left(2,\infty \right)$  

zatem

$\underline{m\in \left(0,2\right)\cup \left(2,4\right)}$