(Uwaga: W niektórych rozwiązaniach na stronie odpowiedź różni się formą od tych zamieszczonych z tyłu książki, jednak opisują te same rozwiązania, chyba że zaznaczono inaczej.)

a) Mamy

$3\left(1-\sin x\right)=1+\cos 2x$  

Korzystając ze wzoru cos2x = 1 - 2 sin²x rozpiszmy

$3-3\sin x=1+1-2{\sin }^{2}x$  

$2{\sin }^{2}x-3\sin x+1=0$  

Niech

$t=\sin x,t\in ⟨-1,1⟩$  

Wtedy równanie ma postać

$2t^2-3t+1=0$

${\Delta }_t={\left(-3\right)}^2-4\cdot 2\cdot 1=9-8=1,\sqrt{{\Delta }_t}=1$   

$t=\frac{3-1}{4}=\frac{1}{2}\in ⟨-1,1⟩\vee t=\frac{3+1}{4}=1\in ⟨-1,1⟩$  

Stąd

$t=\frac{1}{2}\vee t=1$

Wracając do podstawienia

$\sin x=\frac{1}{2}\vee \sin x=1$   

Zatem rozwiązanie

$x=\frac{\pi }{6}+2k\pi \vee x=\frac{5\pi }{6}+2k\pi \vee x=\frac{p}{2}+2k\pi ,k\in \mathbf{Z}$  

---

b) Mamy

$\frac{\mathrm{tg}x}{\cos x}-2\sin x=0$  

Korzystając ze wzoru tgx = ^sinx/_cosx  rozpiszmy

$\frac{\sin x}{\cos x}\cdot \frac{1}{\cos x}-2\sin x=0$  

$\sin x\left(\frac{1}{{\cos }^{2}x}-2\right)=0$  

$\sin x=0\vee \frac{1}{{\cos }^{2}x}=2$  

$\sin x=0\vee {\cos }^{2}x=\frac{1}{2}$  

$\sin x=0\vee \cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}\vee \cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$  

$\sin x=0\vee \cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}\vee \cos \left(\pi -x\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$  

Zatem rozwiązanie

$x=k\pi \vee x=\frac{\pi }{4}+2k\pi \vee x=-\frac{\pi }{4}+2k\pi \vee \pi -x=\frac{\pi }{4}+2k\pi \vee \pi -x=-\frac{\pi }{4}+2k\pi ,k\in \mathbf{Z}$  

$x=k\pi \vee x=\frac{\pi }{4}+2k\pi \vee x=-\frac{\pi }{4}+2k\pi \vee -x=-\frac{3\pi }{4}+2k\pi \vee -x=-\frac{5\pi }{4}+2k\pi ,k\in \mathbf{Z}$

$x=k\pi \vee x=\frac{\pi }{4}+2k\pi \vee x=-\frac{\pi }{4}+2k\pi \vee x=\frac{3\pi }{4}+2k\pi \vee x=\frac{5\pi }{4}+2k\pi ,k\in \mathbf{Z}$

Można zapisać to krócej

$x=k\pi \vee x=\frac{\pi }{4}+k\pi \vee x=-\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbf{Z}$

(Uwaga: Odpowiedź z tyłu podręcznika jest niepoprawna.)

---

c) Mamy

$\frac{1}{\sin x}=\sin x+\cos x$  

$\frac{1}{\sin x}-\sin x-\cos x=0$

$\frac{1-{\sin }^{2}x-\sin x\cos x}{\sin x}=0$   

To zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy

$1-{\sin }^{2}x-\sin x\cos x=0$  

Korzystając z jedynki trygonometrycznej

${\cos }^{2}x-\sin x\cos x=0$

$\cos x\left(\cos x-\sin x\right)=0$

$\cos x=0\vee \cos x-\sin x=0$

$\cos x=0\vee \sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)-\sin x=0$

Korzystając ze wzoru sinα - sinβ = 2 sin^(α-β)/₂ cos^(α+β)/₂  rozpiszmy

$\cos x=0\vee 2\sin \frac{\frac{\pi }{2}-x-x}{2}\cos \frac{\frac{\pi }{2}-x+x}{2}=0$

$\cos x=0\vee 2\sin \left(\frac{\pi }{4}-x\right)\cos \frac{\pi }{4}=0$  

$\cos x=0\vee 2\sin \left(\frac{\pi }{4}-x\right)\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=0$  

$\cos x=0\vee \sin \left(\frac{\pi }{4}-x\right)=0$  

Zatem rozwiązanie

$x=\frac{\pi }{2}+k\pi \vee \frac{\pi }{4}-x=k\pi ,k\in \mathbf{Z}$  

$x=\frac{\pi }{2}+k\pi \vee -x=-\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbf{Z}$  

$x=\frac{\pi }{2}+k\pi \vee x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbf{Z}$  

---

d) Mamy

$\mathrm{tg}2x+\frac{1}{\mathrm{tg}x}=8{\cos }^{2}x$

Korzystając ze wzoru tgx = ^sinx/_cosx  rozpiszmy

  $\frac{\sin 2x}{\cos 2x}+\frac{\cos x}{\sin x}=8{\cos }^{2}x$

$\frac{\sin 2x\sin x+\cos x\cos 2x}{\cos 2x\sin x}-8{\cos }^{2}x=0\wedge \sin x\ne 0\wedge \cos 2x\ne 0$

Korzystając ze wzorów sin2x = 2sinxcosx oraz cos2x = cos²x-sin²x rozpiszmy

$\frac{2{\sin }^{2}x\cos x+{\cos }^{3}x-{\sin }^{2}x\cos x-8{\cos }^2\cos 2x\sin x}{\cos 2x\sin x}=0$    

To zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy

$2{\sin }^{2}x\cos x+{\cos }^{3}x-{\sin }^{2}x\cos x-8{\cos }^2\cos 2x\sin x=0$  

${\sin }^{2}x\cos x+{\cos }^{3}x-8{\cos }^2\sin x\left({\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x\right)=0$  

${\sin }^{2}x\cos x+{\cos }^{3}x-8{\cos }^{4}x\sin x+8{\sin }^{3}x{\cos }^{2}x=0$  

$\cos x\left({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x-8{\cos }^{3}x\sin x+8{\sin }^{3}x\cos x\right)=0$  

$\cos x=0\vee {\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x-8{\cos }^{3}x\sin x+8{\sin }^{3}x\cos x=0$  

$\cos x=0\vee 1-8\left({\cos }^{3}x\sin x-{\sin }^{3}x\cos x\right)=0$  

$\cos x=0\vee 1-8\sin x\cos x\left({\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x\right)=0$  

$\cos x=0\vee 1-4\cdot 2\sin x\cos x\cdot \cos 2x=0$  

$\cos x=0\vee 1-4\cdot \sin 2x\cos 2x=0$  

$\cos x=0\vee 1-2\sin 4x=0$  

$\cos x=0\vee 2\sin 4x=1$  

$\cos x=0\vee \sin 4x=\frac{1}{2}$  

Zatem rozwiązanie

$x=\frac{\pi }{2}+k\pi \vee 4x=\frac{\pi }{6}+2k\pi \vee 4x=\frac{5\pi }{6}+2k\pi ,k\in \mathbf{Z}$  

$x=\frac{\pi }{2}+k\pi \vee x=\frac{\pi }{24}+\frac{1}{2}k\pi \vee x=\frac{5\pi }{24}+\frac{1}{2}k\pi ,k\in \mathbf{Z}$  

---

e) Mamy

$2\mathrm{tg}x\cos x+1=2\cos x+\mathrm{tg}x$  

$2\mathrm{tg}x\cos x-2\cos x+1-\mathrm{tg}x=0$  

$2\cos x\left(\mathrm{tg}x-1\right)-\left(\mathrm{tg}x-1\right)=0$

$\left(\mathrm{tg}x-1\right)\left(2\cos x-1\right)=0$   

$\mathrm{tg}x=1\vee \cos x=\frac{1}{2}$

Zatem rozwiązanie

$x=\frac{\pi }{4}+k\pi \vee x=\frac{\pi }{3}+2k\pi \vee x=-\frac{\pi }{3}+2k\pi ,k\in \mathbf{Z}$   

(Uwaga: odpowiedź z tyłu książki jest częściowo nieprawidłowa.)

---

f) Mamy

${\mathrm{tg}}^{4}x-4{\mathrm{tg}}^{2}x+3=0$  

Niech

$t={\mathrm{tg}}^{2}x,t\ge 0$  

Wtedy równanie ma postać

$t^2-4t+3=0$  

${\Delta }_t={\left(-4\right)}^2-4\cdot 1\cdot 3=16-12=4,\sqrt{{\Delta }_t}=2$  

$t=\frac{4-2}{2}=1\vee t=\frac{4+2}{2}=3$  

Stąd wracając do podstawnia

${\mathrm{tg}}^{2}x=1\vee {\mathrm{tg}}^{2}x=3$

$\mathrm{tg}x=1\vee \mathrm{tg}x=-1\vee \mathrm{tg}x=\sqrt{3}\vee \mathrm{tg}x=-\sqrt{3}$   

$\mathrm{tg}x=1\vee \mathrm{tg}\left(\pi -x\right)=1\vee \mathrm{tg}x=\sqrt{3}\vee \mathrm{tg}\left(\pi -x\right)=\sqrt{3}$   

Zatem rozwiązanie

$x=\frac{\pi }{4}+k\pi \vee \pi -x=\frac{\pi }{4}+k\pi \vee x=\frac{\pi }{3}+k\pi \vee \pi -x=\frac{\pi }{3}+k\pi ,k\in \mathbf{Z}$  

$x=\frac{\pi }{4}+k\pi \vee -x=-\frac{3\pi }{4}+k\pi \vee x=\frac{\pi }{3}+k\pi \vee -x=-\frac{2\pi }{3}+k\pi ,k\in \mathbf{Z}$  

$x=\frac{\pi }{4}+k\pi \vee x=\frac{3\pi }{4}+k\pi \vee x=\frac{\pi }{3}+k\pi \vee x=\frac{2\pi }{3}+k\pi ,k\in \mathbf{Z}$