Zapiszmy, że zachodzi

$\text{tg}\alpha =\frac{\sqrt{3}}{3}$   

i kąt α jest ostry, zatem

$\alpha ={30}^{\circ }$  

Stąd

$\cos {30}^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$  

Wartość wyrażenia jest równa

$\frac{\cos \alpha }{1+\cos \alpha }+\frac{1-\cos \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}+\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{2+\sqrt{3}}{2}}+\frac{\frac{2-\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{2}{2+\sqrt{3}}+\frac{2-\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}+\frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{3+\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{2\sqrt{3}+3}=\frac{3+4-3}{2\sqrt{3}+3}=\frac{4\left(2\sqrt{3}-3\right)}{\left(2\sqrt{3}+3\right)\left(2\sqrt{3}-3\right)}=\frac{4\left(2\sqrt{3}-3\right)}{12-9}=\frac{4}{3}\left(2\sqrt{3}-3\right)$