Rozważamy funkcję 

$f\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}{x}^2,& \text{gdy}x\in (0,1⟩\\ {\left(x-2\right)}^2,& \text{gdy}x\in \left(1,2\right)\end{array}$

---

A. 

Sprawdzamy czy ta funkcja jest ciągła w przedziale $\left(0,2\right)$.

Funkcja $f$ jest ciągła w każdym z przedziałów otwartych $\left(0,1\right)$ oraz $\left(1,2\right)$ (ponieważ funkcje wielomianowe są ciągłe w swojej dziedzinie). Pozostaje nam jedynie sprawdzić ciągłość w punkcie granicznym $x=1$. 

I. Badamy istnienie granicy w punkcie $x=1$.

$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }{x}^2=\left[1^2\right]=1$

$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }{\left(x-2\right)}^2=\left[{\left(1-2\right)}^2\right]=1$

granice jednostronne są równe, czyli istnieje granica funkcji $f$ w punkcie $x=1$

$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)$

II. Badamy czy granica funkcji $f$ w punkcie $x=1$ jest równa wartości funkcji w tym punkcie. 

$f\left(1\right)=1^2=1$

czyli 

$\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)=1=f\left(1\right)$

czyli funkcja $f$ jest ciągła w punkcie $1$. 

Tym samym funkcja $f$ jest ciągła w przedziale $\left(0,2\right)$, czyli zdanie A jest prawdziwe. 

---

B. 

Sprawdzimy czy funkcja $f$jest różniczkowalna w przedziale $\left(0,2\right)$.

Funkcja $f$ jest różniczkowalna w każdym z przedziałów otwartych $\left(0,1\right)$ oraz $\left(1,2\right)$.

Sprawdzimy czy jest różniczkowalna w punkcie granicznym $x=1$. 

Z punktu A wiadomo, że funkcja $f$ jest ciągła w punkcie $x=1$.

Sprawdzimy jeszcze  czy pochodne jednostronne w tym punkcie są równe

$\underset{h\to 0^{-}}{\lim }\frac{f\left(1+h\right)-f\left(1\right)}{h}=\underset{h\to 0^{-}}{\lim }\frac{{\left(1+h\right)}^2-1}{h}=\underset{h\to 0^{-}}{\lim }\frac{1+2h+h^2-1}{h}=$

$=\underset{h\to 0^{-}}{\lim }\frac{h^2+2h}{h}=\underset{h\to 0^{-}}{\lim }\left(h+2\right)=\left[0+2\right]=2$

$\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{f\left(1+h\right)-f\left(1\right)}{h}=\underset{h\to 0^{-}}{\lim }\frac{{\left(1+h-2\right)}^2-1}{h}=\underset{h\to 0^{-}}{\lim }\frac{{\left(h-1\right)}^2-1}{h}=$

$=\underset{h\to 0^{-}}{\lim }\frac{h^2-2h+1-1}{h}=\underset{h\to 0^{-}}{\lim }\frac{h^2-2h}{h}=\underset{h\to 0^{-}}{\lim }\left(h-2\right)=\left[0-2\right]=-2$

Zatem 

$f_{-}^{\prime }\left(1\right)=2\ne -2=f_{+}^{\prime }\left(1\right)$

pochodne jednostronne są różne, czyli nie istnieje pochodna funkcji $f$ w punkcie $x=1$.

Tym samym funkcja $f$ nie jest różniczkowalna w przedziale $\left(0,2\right)$, czyli zdanie B jest fałszywe.   

---

C. Sprawdzimy czy funkcja $f$ ma w przedziale $\left(0,2\right)$ maksimum lokalne. 

Wyznaczamy pochodną funkcji $f$

$f^{\prime }\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}{\left(x^2\right)}^{\prime },& \text{gdy}x\in \left(0,1\right)\\ {\left(x^2-4x+4\right)}^{\prime },& \text{gdy}x\in \left(1,2\right)\end{array}$

$f^{\prime }\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}2x,& \text{gdy}x\in \left(0,1\right)\\ 2x-4,& \text{gdy}x\in \left(1,2\right)\end{array}$

Wyznaczamy punkty krytyczne funkcji $f$

•  $x\in \left(0,1\right)$

wtedy

$f^{\prime }\left(x\right)=0$

$2x=0$

$x=0_{\notin \left(0,1\right)}$

czyli w przedziale $\left(0,1\right)$ funkcja $f$ nie ma punktów krytycznych. 

• $x\in \left(1,2\right)$

wtedy 

$f^{\prime }\left(x\right)=0$

$2x-4=0$

$2x=4$

$x=2_{\notin \left(1,2\right)}$

czyli w przedziale $\left(0,1\right)$ funkcja $f$ nie ma punktów krytycznych. 

Budujemy tabelkę 

$x$	$\left(0,1\right)$	$1$	$\left(1,2\right)$
$f^{\prime }\left(x\right)$	$+$	x	$-$
$f\left(x\right)$	$\nearrow$	maksimum lokalne	$\searrow$

czyli funkcja $f$ ma maksimum lokalne w punkcie $1$, zatem zdanie C jest prawdziwe. 

---

Odp. A i C.