Funkcja f określona jest wzorem...- Zadanie 10.77: Matematyka i przykłady jej zastosowań 3. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

Rozważamy funkcję z parametrami $k$ i $m$ , daną wzorem

$f (x) = m x^{4} - (m + 2) x^{2} + lo g_{3} (2 k + 9) + lo g_{3} k, x \in R, m \in R$

Z definicji logarytmu otrzymujemy

$2 k + 9 > 0 \land k > 0$

$k > - \frac{9}{2}$

czyli ostatecznie

$k > 0$

Mamy tak dobrać wartości parametrów $k$ i $m$ aby funkcja w punkcie $1$ miała ekstremum równe $2$ , czyli musi zachodzić

$f (1) = 2$

$m \cdot 1 - (m + 2) \cdot 1 + lo g_{3} (2 k + 9) + lo g_{3} k = 2$

$m - m - 2 + lo g_{3} (2 k + 9) + lo g_{3} k = 2$

korzystając z praw działań na logarytmach mamy

$lo g_{3} ((2 k + 9) \cdot k) = 4$

$lo g_{3} (2 k^{2} + 9 k) = 4$

z definicji logarytmu dostajemy

$2 k^{2} + 9 k = 3^{4}$

$2 k^{2} + 9 k = 81$

$2 k^{2} + 9 k - 81 = 0$

$Δ = 9^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 81) = 81 + 648 = 729$

$Δ = 27$

$k_{1} = \frac{- 9 - 27}{4} = - 9_{(sprzeczno \overset{s}{ˊ} \overset{c}{ˊ} z za ł .)}$

$k_{2} = \frac{- 9 + 27}{4} = \frac{9}{2}$

czyli ostatecznie

$k = \frac{9}{2}$

czyli wzór funkcji $f$ jest postaci

$f (x) = m x^{4} - (m + 2) x^{2} + lo g_{3} (2 \cdot \frac{9}{2} + 9) + lo g_{3} \frac{9}{2} =$

$= m x^{4} - (m + 2) x^{2} + lo g_{3} 18 + lo g_{3} \frac{9}{2} =$

$= m x^{4} - (m + 2) x^{2} + lo g_{3} (18 \cdot \frac{9}{2}) =$

$= m x^{4} - (m + 2) x^{2} + lo g_{3} 81 =$

$= m x^{4} - (m + 2) x^{2} + 4$

Funkcja $f$ jest różniczkowalna w swojej dziedzinie (jako funkcja wielomianowa), wyznaczamy pochodną tej funkcji

$f^{'} (x) = (m x^{4} - (m + 2) x^{2} + 4)^{'} = 4 m x^{3} - 2 (m + 2) x$

Funkcja $f$ ma mieć w punkcie $1$ ekstremum, czyli musi być spełniony warunek

$f^{'} (1) = 0$

$4 m \cdot 1 - 2 (m + 2) \cdot 1 = 0$

$4 m - 2 m - 4 = 0$

$2 m = 4 ∣ : 2$

$m = 2$

Sprawdzamy czy dla wyznaczonej wartości $m$ jest spełniony warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji (sprawdzamy czy pochodna w tym punkcie zmienia znak). Dla $m = 2$ mamy

$f^{'} (x) = 4 \cdot 2 \cdot x^{3} - 2 (2 + 2) \cdot x = 8 x^{3} - 8 x$

Przekształcamy wzór pochodnej, żeby naszkicować jej przybliżony wykres. Mamy

$f^{'} (x) = 8 x^{3} - 8 x = 8 x (x^{2} - 1) = 8 x (x - 1) (x + 1)$

szkicujemy przybliżony wykres tej funkcji (rysunek poniżej)

korzystając z wykresu dostajemy, że

$f^{'} (x) > 0 \Rightarrow x \in (- 1, 0) \cup (1, + \infty)$

$f^{'} (x) < 0 \Rightarrow x \in (- \infty, - 1) \cup (0, 1)$

otrzymujemy więc, że w punkcie $1$ pochodna zmienia znak (w lewostronnym sąsiedztwie punktu $1$ pochodna przyjmuje wartości ujemne, a w prawostronnym sąsiedztwie punktu $1$ wartości dodatnie), czyli funkcja $f$ ma w tym punkcie minimum lokalne.