a)

Wyznaczymy ekstrema funkcji

$f\left(x\right)=x^3-3x,x\in \mathbb{R}$

Funkcja $f$ jest różniczkowalna w swojej dziedzinie (jako funkcja wielomianowa), wyznaczymy pochodną tej funkcji

$f^{\prime }\left(x\right)={\left(x^3-3x\right)}^{\prime }=3x^2-3$

Wyznaczamy punkty krytyczne funkcji $f$

$f^{\prime }\left(x\right)=0$

$3x^2-3=0$

$3x^2=3$

$x^2=1$

$x=-1\vee x=1$

czyli funkcja $f$ ma dwa punkty krytyczne $-1$ i $1$. 

Obliczamy pochodną funkcji $f^{\prime }\left(x\right)$

$f^{\prime \prime }\left(x\right)={\left(3x^2-3\right)}^{\prime }=6x$

Określamy znak wartości $f^{\prime \prime }\left(-1\right)$oraz $f^{\prime \prime }\left({}^{}1\right)$

$f^{\prime \prime }\left(-1\right)=6\cdot \left(-1\right)=-6<0$

$f^{\prime \prime }\left(1\right)=6\cdot 1=6>0$

Korzystając z drugiego warunku wystarczającego istnienia ekstremum funkcji otrzymujemy, że dla

•  $x=-1$funkcja $f$ ma maksimum lokalne równe

 $y_{\max }=f\left(-1\right)=-1+3=2$

•  $x=1$ funkcja $f$ ma minimum  lokalne równe

 $y_{\min }=f\left(1\right)=1-3=-2$

---

b)

Wyznaczymy ekstrema funkcji

$f\left(x\right)=x^3-2x^2+x,x\in \mathbb{R}$

Funkcja $f$ jest różniczkowalna w swojej dziedzinie (jako funkcja wielomianowa), wyznaczymy pochodną tej funkcji 

$f^{\prime }\left(x\right)={\left(x^3-2x^2+x\right)}^{\prime }=3x^2-4x+1$

Wyznaczamy punkty krytyczne funkcji $f$

$f^{\prime }\left(x\right)=0$

$3x^2-4x+1=0$

$\Delta ={\left(-4\right)}^2-4\cdot 3\cdot 1=16-12=4$

$\sqrt{\Delta }=2$

$x_1=\frac{4-2}{6}=\frac{1}{3}$

$x_2=\frac{4+2}{6}=1$

czyli funkcja $f$ ma dwa punkty krytyczne $\frac{1}{3}$ i $1$. 

Obliczamy pochodną funkcji $f^{\prime }\left(x\right)$

$f^{\prime \prime }\left(x\right)={\left(3x^2-4x+1\right)}^{\prime }=6x-4$

Określamy znak wartości $f^{\prime \prime }\left(\frac{1}{3}\right)$oraz $f^{\prime \prime }\left({}^{}1\right)$

$f^{\prime \prime }\left(\frac{1}{3}\right)=6\cdot \frac{1}{3}-4=2-4=-2<0$

$f^{\prime \prime }\left(1\right)=6\cdot 1-4=2>0$

Korzystając z drugiego warunku wystarczającego istnienia ekstremum funkcji otrzymujemy, że dla 

•  $x=\frac{1}{3}$ funkcja $f$ ma maksimum lokalne równe

 $y_{\max }=f\left(\frac{1}{3}\right)={\left(\frac{1}{3}\right)}^3-2\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^2+\frac{1}{3}=\frac{4}{27}$

•  $x=1$ funkcja $f$ ma minimum  lokalne równe

 $y_{\min }=f\left(1\right)=1-2+1=0$

UWAGA!!!

Odpowiedź podana na końcu zbioru do podpunktu b) jest błędna. 

---

c)

Wyznaczymy ekstrema funkcji

$f\left(x\right)=x^3-6x^2+9x-4,x\in \mathbb{R}$

Funkcja $f$ jest różniczkowalna w swojej dziedzinie (jako funkcja wielomianowa), wyznaczymy pochodną tej funkcji 

$f^{\prime }\left(x\right)={\left(x^3-6x^2+9x-4\right)}^{\prime }=3x^2-12x+9$

Wyznaczamy punkty krytyczne funkcji $f$

$f^{\prime }\left(x\right)=0$

$3x^2-12x+9=0$

$\Delta ={\left(-12\right)}^2-4\cdot 3\cdot 9=144-108=36$

$\sqrt{\Delta }=6$

$x_1=\frac{12-6}{6}=1$

$x_2=\frac{12+6}{6}=3$

czyli funkcja $f$ ma dwa punkty krytyczne $1$ i $3$. 

Obliczamy pochodną funkcji $f^{\prime }\left(x\right)$

$f^{\prime \prime }\left(x\right)={\left(3x^2-12x+9\right)}^{\prime }=6x-12$

Określamy znak wartości $f^{\prime \prime }\left(1\right)$oraz $f^{\prime \prime }\left(3\right)$

$f^{\prime \prime }\left(1\right)=6\cdot 1-12=-6<0$

$f^{\prime \prime }\left(3\right)=6\cdot 3-12=6>0$

Korzystając z drugiego warunku wystarczającego istnienia ekstremum funkcji otrzymujemy, że dla

•  $x=1$ funkcja $f$ ma maksimum lokalne równe

 $y_{\max }=f\left(1\right)=1-6+9-4=0$

•  $x=3$ funkcja $f$ ma minimum  lokalne równe

 $y_{\min }=f\left(3\right)=3^3-6\cdot 3^2+9\cdot 3-4=-4$