Dana jest funkcja:

$f\left(x\right)=x^3-mx$

Wyznaczamy pochodną funkcji f:

$f^{\prime }\left(x\right)=3x^2-m$

---

a)

Aby funkcja f była rosnąca w całym zbiorze liczb rzeczywistych, to funkcja f' musi przyjmować wartości nieujemne w całym zbiorze liczb rzeczywistych, a więc:

$$\begin{gathered} \Delta =0^2-4\cdot 3\cdot \left(-m\right)=12m\le 0 \\ m\le 0 \\ m\in (-\infty ,0⟩ \end{gathered}$$

---

b)

Aby funkcja f była malejąca w przedziale ⟨-2, 2⟩, to rozwiązaniem nierówności:

$f^{\prime }\left(x\right)\le 0$

musi być przedział ⟨-2, 2⟩.

Zatem rozwiązujemy nierówność:

$$\begin{gathered} 3x^2-m\le 0 \\ 3x^2\le m \\ {x}^2\le \frac{m}{3} \\ \left|x\right|\le \sqrt{\frac{m}{3}} \\ x\le \sqrt{\frac{m}{3}}\wedge x\ge -\sqrt{\frac{m}{3}} \\ x\in \left(-\sqrt{\frac{m}{3}},\sqrt{\frac{m}{3}}\right) \end{gathered}$$

Wobec tego:

$$\begin{gathered} -\sqrt{\frac{m}{3}}=-2 \\ \sqrt{\frac{m}{3}}=2 \\ \frac{m}{3}=4 \\ m=12 \end{gathered}$$

i

$$\begin{gathered} \sqrt{\frac{m}{3}}=2 \\ m=12 \end{gathered}$$

Wnioskujemy, że dla m=12 funkcja f jest malejąca w przedziale ⟨-2, 2⟩.

Aby funkcja f była rosnąca w przedziałach (-oo, -2⟩ oraz ⟨2, +oo), to rozwiązaniem nierówności:

$f^{\prime }\left(x\right)\ge 0$

musi być suma tych przedziałów.

Zatem rozwiązujemy nierówność:

$$\begin{gathered} 3x^2-m\ge 0 \\ 3x^2\ge m \\ {x}^2\ge {\frac{m}{3}}^{} \\ \left|x\right|\ge \sqrt{\frac{m}{3}} \\ x\ge \sqrt{\frac{m}{3}}\vee x\le -\sqrt{\frac{m}{3}} \\ x\in \left(-\infty ,-\sqrt{\frac{m}{3}}\right)\cup \left(\sqrt{\frac{m}{3}},+\infty \right) \end{gathered}$$

Wobec tego:

$$\begin{gathered} -\sqrt{\frac{m}{3}}=-2 \\ m=12 \end{gathered}$$

i

$$\begin{gathered} \sqrt{\frac{m}{3}}=2 \\ m=12 \end{gathered}$$

Wnioskujemy, że dla m=12 funkcja f jest rosnąca w przedziałach (-oo, -2⟩ oraz ⟨2, +oo).

Podsumowując, aby funkcja była monotoniczna w podanych przedziałach, to m=12.