a)

Z treści zadania wiemy, że:

$a_n=2-7n,M=-20$

Należy rozwiązać nierówność: 

$a_n<M$

zatem

$2-7n<-20\mid -2$

$-7n<-22\mid :\left(-7\right)$

$n>\frac{22}{7}=3\frac{1}{7}$

Wobec tego:

$n\in \left\{4,5,6,7,\dots \right\}$       

---

b)

Z treści zadania wiemy, że:

$a_n=2+4n-3n^2,M=2$  

Należy rozwiązać nierówność:

$a_n<M$

$2+4n-3n^2<2$

$-3n^2+4n<0$

$n\left(-3n+4\right)<0$

Rozwiązujemy pomocniczo równanie:

$n\left(-3n+4\right)=0$

$n=0\text{lub}-3n+4=0$

$n=\frac{4}{3}=1\frac{1}{3}$        

zatem:

$n\in \left(-\infty ,0\right)\cup \left(1\frac{1}{3},+\infty \right)$

Wobec tego: 

$n\in \left\{2,3,4,5,6,\dots \right\}$  

---

c)

Z treści zadania wiemy, że:

$a_n=1-n^3,M=-7$

Należy rozwiązać nierówność:

$a_n<M$

$1-n^3<-7$

$-n^3<-8\mid \cdot \left(-1\right)$

$n^3>8\mid \sqrt[3]{}$

$n>2$

Wobec tego:

$n\in \left\{3,4,5,6,\dots \right\}$        

---

d)

Z treści zadania wiemy, że:

$a_n=\frac{14-n^2}{n},M=-5$

Należy rozwiązać nierówność:

$a_n<M$  

$\frac{14-n^2}{n}<-5\mid \cdot n^2$

$n\left(14-n^2\right)<-5n^2$

$14n-n^3<-5n^2$

$-n^3+5n^2+14n<0$

$n\left(-n^2+5n+14\right)<0$

Rozwiązujemy pomocniczo równanie:

$n\left(-n^2+5n+14\right)=0$

$n=0\text{lub}-n^2+5n+14=0$

Rozwiązujemy równanie kwadratowe:

$-n^2+5n+14=0$

$\Delta =5^2-4\cdot \left(-1\right)\cdot 14=25+56=81,\sqrt{\Delta }=9$

$n=\frac{-5-9}{-2}=7\text{lub}n=\frac{-5+9}{-2}=-2$         

   

Zatem:

$n\in \left(-2,0\right)\cup \left(7,+\infty \right)$  

Wobec tego:

$n\in \left\{8,9,10,11,12,\dots \right\}$