Należy poda liczbę wyrazów w ciągu, które należą do podanego przedziału.

---

a)

$\left(-\frac{5}{3},\frac{5}{3}\right),\text{gdy}{a}_n=\frac{2}{n}$

Wobec tego rozwiązujemy podwójną nierówność:  

$-\frac{5}{3}<\frac{2}{n}<\frac{5}{3}$   

(1)

$-\frac{5}{3}<\frac{2}{n}\mid \cdot n,n\in {\mathbb{N}}_{+}$

$-\frac{5}{3}n<2\mid \cdot \left(-\frac{3}{5}\right)$

$n>2\cdot \left(-\frac{3}{5}\right)$

$n>-\frac{6}{5}$

(2)

$\frac{2}{n}<\frac{5}{3}\mid \cdot n,n\in {\mathbb{N}}_{+}$      

$2<\frac{5}{3}n\mid \cdot \frac{3}{5}$

$n>2\cdot \frac{3}{5}$

$n>\frac{6}{5}=1\frac{1}{5}$

Wnioskujemy, że:

$n>-\frac{6}{5}\wedge n>1\frac{1}{5}\wedge n\in {\mathbb{N}}_{+}$

zatem

$n\in \left\{2,3,4,5,6,\dots \right\}$      

Wobec tego do danego przedziału nie należy tylko wyraz pierwszy ciągu (jeden wyraz). 

---

b)

$\left(-2,2\right),\text{gdy}{a}_n=\frac{5}{n}$

Wobec tego rozwiązujemy podwójną nierówność: 

$-2<\frac{5}{n}<2$   

(1)

$-2<\frac{5}{n}\mid \cdot n,n\in {\mathbb{N}}_{+}$

$-2n<5\mid :\left(-2\right)$

$n>-\frac{5}{2}$

(2)

$\frac{5}{n}<2\mid \cdot n,n\in {\mathbb{N}}_{+}$      

$5<2n\mid :2$

$n>\frac{5}{2}=2\frac{1}{2}$

Wnioskujemy, że:

$n>-\frac{5}{2}\wedge n>2\frac{1}{2}\wedge n\in {\mathbb{N}}_{+}$

zatem

$n\in \left\{3,4,5,6,\dots \right\}$      

Wobec tego do danego przedziału nie należą dwa wyrazy ciągu (a₁ i a₂). 

---

c)

$\left(-\frac{1}{5},\frac{1}{5}\right),\text{gdy}{a}_n={\left(-1\right)}^n\cdot \frac{1}{n}$

Wobec tego rozwiązujemy podwójną nierówność: 

$-\frac{1}{5}<{\left(-1\right)}^n\cdot \frac{1}{n}<\frac{1}{5}$   

(1)

$-\frac{1}{5}<{\left(-1\right)}^n\cdot \frac{1}{n}\mid \cdot n,n\in {\mathbb{N}}_{+}$

$-\frac{1}{5}n<{\left(-1\right)}^n$

Jeżeli n jest liczbą naturalną nieparzystą, to:

$-\frac{1}{5}n<-1\mid \cdot \left(-5\right)$

$n>5$

Jeżeli n jest liczbą naturalną parzystą, to:

$-\frac{1}{5}n<1\mid \cdot \left(-5\right)$

$n>-5$     

Zatem:

$n>5\wedge n\in {\mathbb{N}}_{+}$  

(2)

${\left(-1\right)}^n\cdot \frac{1}{n}<\frac{1}{5}\mid \cdot n,n\in {\mathbb{N}}_{+}$      

${\left(-1\right)}^n<\frac{1}{5}n$

Jeżeli n jest liczbą naturalną nieparzystą, to:

$-1<\frac{1}{5}n\mid \cdot 5$

$n>-5$

Jeżeli n jest liczbą naturalną parzystą, to:

$1<\frac{1}{5}n\mid \cdot 5$

$n>5$     

Zatem:

$n>5\wedge n\in {\mathbb{N}}_{+}$

Wnioskujemy, że:

$n>5\wedge n\in {\mathbb{N}}_{+}$

zatem

$n\in \left\{6,7,8,9,\dots \right\}$      

Wobec tego do danego przedziału nie należy pięć wyrazów ciągu (a₁, a₂, a₃, a₄, a₅). 

---

d)

$\left(-\frac{1}{100},\frac{1}{100}\right),\text{gdy}{a}_n={\left(-1\right)}^n\cdot \frac{1}{n}$

Wobec tego rozwiązujemy podwójną nierówność: 

$-\frac{1}{100}<{\left(-1\right)}^n\cdot \frac{1}{n}<\frac{1}{100}$   

(1)

$-\frac{1}{100}<{\left(-1\right)}^n\cdot \frac{1}{n}\mid \cdot n,n\in {\mathbb{N}}_{+}$

$-\frac{1}{100}n<{\left(-1\right)}^n$

Jeżeli n jest liczbą naturalną nieparzystą, to:

$-\frac{1}{100}n<-1\mid \cdot \left(-100\right)$

$n>100$

Jeżeli n jest liczbą naturalną parzystą, to:

$-\frac{1}{100}n<1\mid \cdot \left(-100\right)$

$n>-100$     

Zatem:

$n>100\wedge n\in {\mathbb{N}}_{+}$  

(2)

${\left(-1\right)}^n\cdot \frac{1}{n}<\frac{1}{100}\mid \cdot n,n\in {\mathbb{N}}_{+}$      

${\left(-1\right)}^n<\frac{1}{100}n$

Jeżeli n jest liczbą naturalną nieparzystą, to:

$-1<\frac{1}{100}n\mid \cdot 100$

$n>-100$

Jeżeli n jest liczbą naturalną parzystą, to:

$1<\frac{1}{100}n\mid \cdot 100$

$n>100$     

Zatem:

$n>100\wedge n\in {\mathbb{N}}_{+}$

Wnioskujemy, że:

$n>100\wedge n\in {\mathbb{N}}_{+}$

zatem

$n\in \left\{101,102,103,104,105,\dots \right\}$      

Wobec tego do danego przedziału nie należy sto wyrazów ciągu (a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, ..., a₁₀₀). 

---

e)

$\left(-\frac{1}{6},\frac{1}{6}\right),\text{gdy}{a}_n=\frac{1}{n+1}$

Wobec tego rozwiązujemy podwójną nierówność: 

$-\frac{1}{6}<\frac{1}{n+1}<\frac{1}{6}$   

(1)

$-\frac{1}{6}<\frac{1}{n+1}\mid \cdot \left(n+1\right),n\in {\mathbb{N}}_{+}$

$-\frac{1}{6}\left(n+1\right)<1$

$-\frac{1}{6}n-\frac{1}{6}<1\mid +\frac{1}{6}$  

$-\frac{1}{6}n<\frac{7}{6}\mid \cdot \left(-6\right)$

$n>-7$   

(2)

$\frac{1}{n+1}<\frac{1}{6}\mid \cdot \left(n+1\right),n\in {\mathbb{N}}_{+}$      

$1<\frac{1}{6}\left(n+1\right)$

$1<\frac{1}{6}n+\frac{1}{6}\mid -\frac{1}{6}$

$\frac{5}{6}<\frac{1}{6}n\mid \cdot 6$

$n>5$    

Wnioskujemy, że:

$n>-7\wedge n>5\wedge n\in {\mathbb{N}}_{+}$

zatem

$n\in \left\{6,7,8,9,\dots \right\}$      

Wobec tego do danego przedziału nie należy pięć wyrazów ciągu (a₁, a₂, a₃, a₄, a₅). 

---

f)

$\left(-\frac{1}{10},\frac{1}{10}\right),\text{gdy}{a}_n=\frac{3}{2n}$

Wobec tego rozwiązujemy podwójną nierówność: 

$-\frac{1}{10}<\frac{3}{2n}<\frac{1}{10}$   

(1)

$-\frac{1}{10}<\frac{3}{2n}\mid \cdot n,n\in {\mathbb{N}}_{+}$

$-\frac{1}{10}n<\frac{3}{2}\mid \cdot \left(-10\right)$

$n>-15$  

(2)

$\frac{3}{2n}<\frac{1}{10}\mid \cdot n,n\in {\mathbb{N}}_{+}$

$\frac{3}{2}<\frac{1}{10}n\mid \cdot 10$

$n>15$    

Wnioskujemy, że:

$n>-15\wedge n>15\wedge n\in {\mathbb{N}}_{+}$

zatem

$n\in \left\{16,17,18,19,\dots \right\}$      

Wobec tego do danego przedziału nie należy piętnaście wyrazów ciągu (a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, ..., a₁₅).