a)

Należy podać te wyrazy ciągu, które spełniają warunek: 

$\left|a_n\right|<\frac{1}{8},\text{gdy}{a}_n=\frac{4}{n}$  

Wobec tego rozwiązujemy nierówność:

$\left|\frac{4}{n}\right|<\frac{1}{8},n\in {\mathbb{N}}_{+}$  

$\frac{4}{n}<\frac{1}{8}\mid \cdot n$

$4<\frac{1}{8}n\mid \cdot 8$

$n>32$

Wnioskujemy, że prawie wszystkie wyrazy ciągu (a_n) oprócz 
wyrazów a₁, a₂, ..., a₃₂ spełniają podany warunek. 

---

b)

Należy podać te wyrazy ciągu, które spełniają warunek: 

$\left|a_n\right|<1,\text{gdy}{a}_n=\frac{n+6}{n^2}$  

Wobec tego rozwiązujemy nierówność:

$\left|\frac{n+6}{n^2}\right|<1,n\in {\mathbb{N}}_{+}$  

$\frac{n+6}{n^2}<1\mid \cdot n^2$

$n+6<n^2\mid -n^2$

$-n^2+n+6<0$

$\Delta =1^2-4\cdot \left(-1\right)\cdot 6=1+24=25,\sqrt{\Delta }=\sqrt{25}=5$

$n=\frac{-1-5}{2\cdot \left(-1\right)}=\frac{-6}{-2}=3\text{lub}n=\frac{-1+5}{2\cdot \left(-1\right)}=\frac{4}{-2}=-2$   

$n\in \left(-\infty ,-2\right)\cup \left(3,+\infty \right)$  

Wnioskujemy, że prawie wszystkie wyrazy ciągu (a_n) oprócz 
wyrazów a₁, a₂, a₃ spełniają podany warunek. 

---

c)

Należy podać te wyrazy ciągu, które spełniają warunek: 

$\left|a_n\right|<0,01,\text{gdy}{a}_n={\left(-0,2\right)}^n$  

Wobec tego rozwiązujemy nierówność:

$\left|{\left(-0,2\right)}^n\right|<0,01,n\in {\mathbb{N}}_{+}$  

(1) Jeżeli n jest nieparzyste, to: 

${\left(-0,2\right)}^n>-0,01$

Zauważmy, że:

${\left(-0,2\right)}^1=-0,2<-0,01$

${\left(-0,2\right)}^3=-0,008>-0,01$

zatem dla każdego n różnego od 1 ,będącego liczbą nieparzystą powyższa nierówność jest spełniona.  

(2) Jeżeli n jest parzyste, to:

${\left(-0,2\right)}^n<0,01$   

Zauważmy, że:

${\left(-0,2\right)}^2=0,04>0,01$  

${\left(-0,2\right)}^4=0,0016<0,01$  

zatem dla każdego n różnego od 2 będącego liczbą parzystą powyższa nierówność jest spełniona.

Wnioskujemy, że prawie wszystkie wyrazy ciągu (a_n) oprócz 
wyrazów a₁, a₂ spełniają podany warunek. 

---

d)

Należy podać te wyrazy ciągu, które spełniają warunek: 

$\left|a_n\right|<\frac{1}{2},\text{gdy}{a}_n=\frac{2^n+65}{3^n}$  

Wobec tego rozwiązujemy nierówność:

$\left|\frac{2^n+65}{3^n}\right|<\frac{1}{2},n\in {\mathbb{N}}_{+}$  

$\frac{2^n+65}{3^n}<\frac{1}{2}\mid \cdot 3^n$

$2^n+65<\frac{1}{2}\cdot 3^n\mid \cdot 2$

$2\cdot 2^n+130<3^n$

Zauważmy, że:

$2\cdot 2^1+130=134>3^1=3$

$2\cdot 2^2+130=138>3^2=9$

$2\cdot 2^3+130=146>3^3=27$

$2\cdot 2^4+130=162>3^3=81$

$2\cdot 2^5+130=194<3^4=243$      

Wnioskujemy, że prawie wszystkie wyrazy ciągu (a_n) oprócz 
wyrazów a₁, a₂, a₃, a₄ spełniają podany warunek.