Wyznacz ciąg arytmetyczny (a_{n}) w którym...- Zadanie 7.65: Matematyka i przykłady jej zastosowań 3. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

${a_{2} + a_{8} = 11 a_{2} - a_{8} = - 3$

${a_{2} = 11 - a_{8} 11 - a_{8} - a_{8} = - 3$

$- 2 a_{8} + 11 = - 3$

$- 2 a_{8} = - 14 ∣ : (- 2)$

$a_{8} = 7$

Zatem:

$a_{2} = 11 - a_{8} = 11 - 7 = 4$

Korzystając ze wzoru na n-ty wyraz w ciągu arytmetycznym dostajemy:

$a_{8} = a_{1} + 7 r$

$7 = a_{1} + 7 r$

$a_{1} = 7 - 7 r$

oraz

$a_{2} = a_{1} + r$

$4 = 7 - 7 r + r$

$4 = 7 - 6 r$

$6 r = 3 ∣ : 6$

$r = \frac{1}{2}$

wobec tego:

$a_{1} = 7 - 7 r = 7 - 7 \cdot \frac{1}{2} = 7 - \frac{7}{2} = \frac{14}{2} - \frac{7}{2} = \frac{7}{2}$

Wnioskujemy, że:

$a_{1} = \frac{7}{2}, r = \frac{1}{2}$

${a_{2} + a_{5} = - 1 a_{3} + a_{7} = - 4$

${a_{1} + r + a_{1} + 4 r = - 1 a_{1} + 2 r + a_{1} + 6 r = - 4$

${2 a_{1} + 5 r = - 1 2 a_{1} + 8 r = - 4$

${2 a_{1} = - 1 - 5 r 2 a_{1} = - 4 - 8 r$

$- 1 - 5 r = - 4 - 8 r$

$- 5 r + 8 r = - 4 + 1$

$3 r = - 3$

$r = - 1$

zatem:

$2 a_{1} = - 1 - 5 r$

$2 a_{1} = - 1 - 5 \cdot (- 1)$

$2 a_{1} = - 1 + 5$

$2 a_{1} = 4$

$a_{1} = 2$

Wnioskujemy, że:

$a_{1} = 2, r = - 1$

${a_{7} + a_{3} = 6 2 a_{7} + a_{9} = a_{5}$

${a_{1} + 6 r + a_{1} + 2 r = 6 2 (a_{1} + 6 r) + a_{1} + 8 r = a_{1} + 4 r$

${2 a_{1} + 8 r = 6 ∣ : 2 3 a_{1} + 20 r = a_{1} + 4 r$

${a_{1} + 4 r = 3 2 a_{1} = - 16 r$

${a_{1} = 3 - 4 r 2 a_{1} = - 16 r$

$2 (3 - 4 r) = - 16 r$

$6 - 8 r = - 16 r$

$6 = - 8 r$

$r = - \frac{6}{8} = - \frac{3}{4}$

zatem:

$a_{1} = 3 - 4 \cdot (- \frac{3}{4}) = 3 + 3 = 6$

Wnioskujemy, że:

$a_{1} = 6, r = - \frac{3}{4}$

${a_{3} + a_{6} = 26 a_{7} - a_{4} = 12$

${a_{1} + 2 r + a_{1} + 5 r = 26 a_{1} + 6 r - (a_{1} + 3 r) = 12$

${2 a_{1} + 7 r = 26 3 r = 12 ∣ : 3$

${2 a_{1} + 7 r = 26 r = 4$

$2 a_{1} + 7 \cdot 4 = 26$

$2 a_{1} + 28 = 26$

$2 a_{1} = - 2 ∣ : 2$

$a_{1} = - 1$

Wnioskujemy, że:

$a_{1} = - 1, r = 4$

${a_{3} + a_{7} = 6 a_{3} \cdot a_{7} = 8$

${a_{1} + 2 r + a_{1} + 6 r = 6 (a_{1} + 2 r) \cdot (a_{1} + 6 r) = 8$

${2 a_{1} + 8 r = 6 ∣ : 2 (a_{1} + 2 r) \cdot (a_{1} + 6 r) = 8$

${a_{1} + 4 r = 3 (a_{1} + 2 r) \cdot (a_{1} + 6 r) = 8$

${a_{1} = 3 - 4 r (a_{1} + 2 r) \cdot (a_{1} + 6 r) = 8$

$(a_{1} + 2 r) \cdot (a_{1} + 6 r) = 8$

$(3 - 4 r + 2 r) (3 - 4 r + 6 r) = 8$

$(3 - 2 r) (3 + 2 r) = 8$

$9 - 4 r^{2} = 8$

$1 = 4 r^{2}$

$r^{2} = \frac{1}{4}$

$r = \frac{1}{2} lub r = - \frac{1}{2}$

$a_{1} = 3 - 4 r = 3 - 4 \cdot \frac{1}{2} = 3 - 2 = 1 lub a_{1} = 3 - 4 r = 3 - 4 \cdot (- \frac{1}{2}) = 3 + 2 = 5$

Wnioskujemy, że:

${a_{1} = 1 r = \frac{1}{2} lub {a_{1} = 5 r = - \frac{1}{2}$

${a_{7} - a_{3} = 8 a_{2} \cdot a_{7} = 75$

${a_{1} + 6 r - (a_{1} + 2 r) = 8 (a_{1} + r) \cdot (a_{1} + 6 r) = 75$

${4 r = 8 ∣ : 4 (a_{1} + r) \cdot (a_{1} + 6 r) = 75$

${r = 2 (a_{1} + 2) \cdot (a_{1} + 12) = 75$

$(a_{1} + 2) \cdot (a_{1} + 12) = 75$

$a_{1}^{2} + 12 a_{1} + 2 a_{1} + 24 = 75$

$a_{1}^{2} + 14 a_{1} - 51 = 0$

$Δ = 14^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 51) = 196 + 204 = 400, Δ = 20$

$a_{1} = \frac{- 14 - 20}{2} = - 17 lub a_{1} = \frac{- 14 + 20}{2} = 3$

Wnioskujemy, że:

${a_{1} = - 17 r = 2 lub {a_{1} = 3 r = 2$

Katarzyna Majewska

Nauczycielka matematyki

Zobacz lekcje, które wyjaśnią temat krok po kroku:

Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego

Premium

12:20

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Związek między trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego

Premium

11:40

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego

Premium

13:04

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.