Własność ciągu arytmetycznego $a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2},n\in {\mathbf{N}}^{+},n>1$

---

a)

Sprawdźmy dla jakiego x spełniona jest własność ciągu arytmetycznego 

$x=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{2}+4}{2}$  

$x=\frac{2\sqrt{2}+4}{2}$

$x=\sqrt{2}+2$   

---

b)

Sprawdźmy dla jakiego x spełniona jest własność ciągu arytmetycznego

$2x+1=\frac{x+3}{2}$  

$4x+2=x+3$

$3x=1$  

$x=\frac{1}{3}$   

---

c)

Sprawdźmy dla jakiego x spełniona jest własność ciągu arytmetycznego

$x-3=\frac{2+8}{2}$  

$x-3=5$

$x=8$   

---

d)

Sprawdźmy dla jakiego x spełniona jest własność ciągu arytmetycznego

$x-2=\frac{\frac{2x-5}{2}+\frac{3x-8}{2}}{2}$  

$x-2=\frac{2x-5+3x-8}{4}$

$4x-8=5x-13$   

$5=x$  

---

e)

Sprawdźmy dla jakiego x spełniona jest własność ciągu arytmetycznego

$x^2+3=\frac{2+x+10}{2}$  

$2x^2+6=x+12$

$2x^2-x-6=0$   

$\Delta ={\left(-1\right)}^2-4\cdot 2\cdot \left(-6\right)=1+48=49,\sqrt{\Delta }=7$  

$x=\frac{1-7}{4}=-\frac{3}{2}\vee x=\frac{1+7}{4}=2$  

---

f)

Sprawdźmy dla jakiego x spełniona jest własność ciągu arytmetycznego

$x^2+1=\frac{3x-4+x^2+2x}{2}$  

$2x^2+2=x^2+5x-4$

$x^2-5x+6=0$   

$\Delta ={\left(-5\right)}^2-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1,\sqrt{\Delta }=1$  

$x=\frac{5-1}{2}=2\vee x=\frac{5+1}{2}=3$